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Charakteristische Funktion (W3)

In der Stochastik bezeichnet der Begriff "Charakteristische Funktion", die Fourier-Transformierte der Verteilung einer Zufallsvariable.

In der Mengenlehre hat die charakteristische Funktion einer Teilmenge, auch Indikatorfunktion genannt, den Wert 1 auf der Teilmenge und 0 außerhalb.

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marginal (W3)

In der Stochastik heißt eine Wahrscheinlichkeit "marginal", die aus einer bedingten Wahrscheinlichkeit durch „Marginalisierung“ hervorgegangen ist.

"Marginalisieren" heißt, über alle möglichen Werte einer Bedingung zu summieren oder integrieren.

Beispiel: Ausgehend von der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B,C) ist P(A|B) bezüglich C marginal.

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matheraetsel
Stochastik - Aufgabensammlung

Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik

• " ZIP Archiv mit allen Aufgaben und Lösungen: stochastik.zip

Titel

• Das Rätsel vom Kantenläuferkäfer Scarabeus Cartesias
• Münzwurf
• Von Zigarettenrauchern und Rechtshändlern
• Taschengeldpocker
• Würfelspiel
• Der zersägte Würfel
• S-Bahnfahrt

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Stochastik (W3)

Stochastik
Kombinatorik
Bei der Kombinatorik geht es um das Zählen von Möglichkeiten. Es handelt sich um Abzählverfahren. Wichtig dabei ist stets die Auswahl und die Anordnung.
...

Mathematik - Hintergründe im täglichen Leben (Werner Brefeld)
Welche Mathematik kann im Alltag für jeden nützlich sein?
Wo spielt die Mathematik im Alltag eine oft unbemerkte und unbeachtete Rolle?

Verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik-Formeln mit konkreten Beispielen
Globale Magnetschwebebahn, interstellares Raumschiff, irdisches und außerirdisches Leben
...
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Platonische und archimedische Körper
Geodätische Kuppeln

• Stochastik-Formeln mit konkreten Beispielen - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige beim Lotto 6 aus 49?
• Lotto 6 aus 49 und die Strategie für überdurchschnittliche Lottoquoten - Mit welchen Lottozahlen erzielt man im Mittel überdurchschnittliche Lottoquoten beim Lotto 6 aus 49? Welches sind die unbeliebtesten Lottozahlen?
• Kniffel - Wahrscheinlichkeiten und Punktzahlen bei optimaler Strategie - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel (Fünferpasch) mit drei Würfen von jeweils fünf Würfeln bei optimaler Strategie?
• Geodätische Kuppeln - Was sind geodätische Kuppeln und wie erzeugt man sie?

STOCHASTISCHE TROUVISMEN in Kunst, Literatur, Musik, (Zeit-)Geschichte ...

Stochastik

• Starker Raucher [von matroid] (matroid/Gockel) - Eine Anekdote über Stefan Banachs Rauchgewohnheiten und eine stochastische Analyse derselben.
• Zusammenfassung der WfA-Teile [von FlorianM] (matroid/Kleine_Meerjungfrau) - In diesem Artikel möchte ich euch noch einmal einen kompletten Überblick bzw. eine Zusammenfassung über die vorangegangenen Artikel geben. Somit habt ihr das Wissen in dem Bereich "Wahrscheinlichkeitsrechnung" auf einen Blick zusammengefasst. Außerdem werde ich noch einige Aufgaben mit Lösungen zum Selberüben anführen.
• Wahrscheinlichkeitsrechnung als Experiment [von matroid] (matroid) - Reisender sucht billiges Hotel Stellt euch vor, ein Reisender kommt mit dem Wagen spät abends in eine fremde Stadt. Hier muß er übernachten. Es gibt nur eine Straße mit Hotels. Man sieht vor jedem Hotel auf Schildern den Preis und den Standard. Welches Hotel wählt er aus ? Der Reisende
• Denksport für Hutträger [von matroid] (matroid/th1908) - Die Farbe ihrer Kopfbedeckung ist für Mathematiker ein kniffliges Problem. Ein einfaches Spiel und die optimale Erfolgsstrategie.Ein Artikel aus Die Zeit, 2001-05-03, von Wolfgang Blum. Mathematiker gelten gemeinhin als Modemuffel. Für so profane Dinge wie chicke Kleidung, heißt es, fehle
• Glücksspiele & Co [von FlorianM] (FlorianM/Kleine_Meerjungfrau) - In diesem Artikel möchte ich Anfängern, die sich bis jetzt noch nicht mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt haben, einen ersten Überblick über die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendungsgebiete geben. Weiterhin findet ihr am Ende des Artikels eine erste wichtige Zusammenfassung der ersten Ergebnisse und Erkenntnisse, die ihr aus diesem Artikel ziehen solltet. (Dieser Artikel ist speziell für Schüler der SekI geschrieben, die ihr Wissen im Bereich "Wahrscheinlichkeit" etwas auffrischen wollen.)
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten [von Kleine_Meerjungfrau] (FlorianM/Kleine_Meerjungfrau) - Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten, Schichtungssatz/totale Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes - mit Beispielen zu jedem Punkt
• Alles rund um Bernoulli [von FlorianM] (FlorianM/Kleine_Meerjungfrau) - Dies ist nun der zweite Teil meiner Serie „Wahrscheinlichkeitsrechnung für Anfänger“. Dieser Artikel wird etwas kürzer ausfallen als der erste, weil ich mich in diesem Artikel "nur" auf Bernoulli-Experimente und auf die Binomialverteilung beschränken möchte.
• Derangement-Zahlen [von matroid] (matroid/Gockel) - Angenommen man hat 4 beschriftete Umschläge, und dazu 4 passende Briefe. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit wenn man die Briefe in die Umschläge tut, dass KEINER im richtigen Umschlag ist?
• Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff [von Phi1] (Anonymous/Gockel) - Einführung in die Stochastik (Teil I). Enthält Definitionen von Wahrscheinlichkeitsräumen allgemein, diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen, einige einfache Sätze und Beispiele
• Drei wohlbegründete Lösungen für ein Problem [von matroid] (matroid/Gockel) - Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig in einen Kreis gezeichnete Sehne länger als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?
• Kombinatorik [von ramonpeter] (matroid/Gockel) - "Die Lehre der Bestimmung von Anzahlen" - Eine Einführung in die Thematik
• Einführung in die Stochastik [von shadowking] (matroid/Gockel) - Ich hoffe, ich habe mir mit diesem Projekt nicht zu viel vorgenommen. Aufgrund des starken Interesses an den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und einem gewissen Mangel an Material hier auf dem Planeten ...
• 1. Ereignisräume und Gleichwahrscheinlichkeit
• 2. Bayessche Formel, Totale Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
• 3. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung
• 4. Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz
• 5. Andere diskrete Verteilungen:
• a) hypergeometrische Verteilung
• b) geometrische Verteilung
• c) Poisson-Verteilung
• 6. Faltungen
• 7. Grundsätzliches zu stetigen Verteilungen
• 8. Gaußsche Verteilung und Zentraler Grenzwertsatz
• Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Teil 1 (Binomialverteilung) [von FlorianM (FlorianM) - Eine ausführliche Erläuterung der Binomialverteilung mit Anwendungen und Beispielen. Speziell für Schüler.
• Exkurs: Herleitung der Tschebyschew-Ungleichung [von FlorianM] (FlorianM) - Eine kurze Herleitung der Tschebyschew-Ungleichung.
• Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße [von FlorianM] (FlorianM) - Dieser Artikel führt auf Schulniveau die Begriff Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung ein.
• Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Teil 2 (hypergeometrische Verteilung) [vo (FlorianM) - Was versteht man unter der hypergeometrischen Verteilung? Warum steht sie in engem Bezug zur Binomialverteilung? In diesem Artikel werden wir auf diese Fragen eingehen und euch anhand von zahlreichen Beispielen diese Verteilung näher erklären.

Stochastik - NRW Gymnasium
Kategorien

• Grundlagen
• Kombinatorik
• Binomialverteilung
• Normalverteilung
• Beurteilende Statistik
• Sonstiges

MSS - Stochastik - RLP
Kategorien

• Grundlagen und Zufallsexperimente
• Binomialverteilung
• Normalverteilung und weitere Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Testen von Hypothesen
• Weiteres

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transitiv (W3)

In der Stochastik ist eine Markow-Kette transitiv (auch irreduzibel genannt), wenn man von jedem Zustand zu jedem anderen mit einer positiven Wahrscheinlichkeit gelangen kann; siehe irreduzible Markow-Kette.

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Georgii, Hans-Otto (Autor)
Stochastik
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Kurzbeschreibung
Infolge der ausgesprochen positiven Aufnahme dieses Lehrbuches liegt nun die 4. Auflage vor, die nochmals weiter bearbeitet und ergänzt wurde. Das Buch gibt eine Einführung in die zentralen Ideen und Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Die stochastischen Konzepte, Modelle und Methoden werden durch typische Anwendungsbeispiele motiviert und anschließend theoretisch analysiert und systematisch entwickelt. Mit einem Stoffumfang von etwa zwei Semestern vermittelt das Buch ein solides Fundament an Kenntnissen, verwendet jedoch nur wenig Maßtheorie und wahrt dadurch seinen einführenden Charakter. Zahlreiche Übungsaufgaben illustrieren und ergänzen den Stoff. Neu in der 4. Auflage sind Lösungsskizzen für einen Teil der Aufgaben.

Über den Autor
Hans-Otto Georgii, LMU München

Inhaltsverzeichnis

• Vorwort v
• Zufall und Mathematik 1
• I Wahrscheinlichkeitstheorie 5
• 1 Mathematische Beschreibung von Zufallssituationen 7
• 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.2 Eigenschaften und Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen . . . 15
• 1.3 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2 Stochastische Standardmodelle 27
• 2.1 Die Gleichverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 2.2 Urnenmodelle mit Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 2.3 Urnenmodelle ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.4 Die Poisson-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 2.5 Wartezeit-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 2.6 Die Normalverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 3 BedingteWahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 52
• 3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 3.2 Mehrstufige Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 3.3 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 3.4 Existenz unabhängiger Zufallsvariablen, Produktmaße . . . . . . . . . 71
• 3.5 Der Poisson-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
• 3.6 Simulationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 3.7 Asymptotische Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 4 Erwartungswert und Varianz 93
• 4.1 Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 4.2 Wartezeitparadox und fairer Optionspreis . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 4.3 Varianz und Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 4.4 Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• 5 Gesetz der großen Zahl und zentraler Grenzwertsatz 120
• 5.1 Das Gesetz der großen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
• 5.2 Die Normalapproximation der Binomialverteilungen . . . . . . . . . 132
• 5.3 Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
• 5.4 Normal- oder Poisson-Approximation? . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
• 6 Markov-Ketten 153
• 6.1 Die Markov-Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
• 6.2 Absorptionswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
• 6.3 Asymptotische Stationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
• 6.4 Rückkehr zum Startpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
• II Statistik 191
• 7 Parameterschätzung 193
• 7.1 Der Ansatz der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
• 7.2 Die Qual der Wahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
• 7.3 Das Maximum-Likelihood-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
• 7.4 Erwartungstreue und quadratischer Fehler . . . . . . . . . . . . . . . 207
• 7.5 Beste Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
• 7.6 Konsistenz von Schätzern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
• 7.7 Bayes-Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
• 8 Konfidenzbereiche 229
• 8.1 Definition und Konstruktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
• 8.2 Konfidenzintervalle im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 235
• 8.3 Ordnungsintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
• 9 Rund um die Normalverteilung 249
• 9.1 Die mehrdimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 249
• 9.2 Die ƒÔ2-, F- und t -Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
• 10 Testen von Hypothesen 263
• 10.1 Entscheidungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
• 10.2 Alternativtests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
• 10.3 Beste einseitige Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
• 10.4 Parametertests im Gaus-Produktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 277
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
• 11 Asymptotische Tests und Rangtests 291
• 11.1 Normalapproximation von Multinomialverteilungen . . . . . . . . . . 291
• 11.2 Der Chiquadrat-Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
• 11.3 Der Chiquadrat-Test auf Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 305
• 11.4 Ordnungs- und Rangtests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
• 12 Regressions- und Varianzanalyse 326
• 12.1 Einfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
• 12.2 Das lineare Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
• 12.3 Das lineare Gaus-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
• 12.4 Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
• Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
• Losungsskizzen 357
• Verteilungstabellen 383
• Literatur 389
• Symbolverzeichnis 393
• Index 397

The fourth German edition of this textbook presents the fundamental ideas and results of both probability theory and statistics. It comprises the material of a one-year course, and is addressed to students of mathematics as well as scientists and computer scientists with interest in the mathematical aspects of stochastics.

"§"
Henze, Norbert (Autor)
Stochastik für Einsteiger
Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls
Mit über 220 Übungsaufgaben und Lösungen

Die einfache, gut lesbare und spannende Einführung in die Stochastik

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Kütting, Herbert (Autor)
Sauer, Martin J. (Autor)
Padberg, Friedhelm (Herausgeber)
Elementare Stochastik
Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte
(Mathematik Primar- und Sekundarstufe)

Kurzbeschreibung
In diesem Band geht es darum, ein erstes Verständnis für die "Mathematik des Zufalls" zu gewinnen und mathematisches Hintergrundwissen für die Behandlung stochastischer Themen in der Grundschule bereitzustellen. Drei Bereiche, die in der Stochastik Spuren hinterlassen haben, und die heute eng miteinander vernetzt sind, nämlich Kombinatorik, Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, werden thematisiert. Beispiele und Übungsaufgaben nehmen in diesem Band einen breiten Raum ein und erleichtern die Erarbeitung und Anwendung der Konzepte. Ein Klausurvorschlag und Lösungshinweise zu den Aufgaben runden diesen auf die Bedürfnisse von Lehramtsstudenten der Primarstufe abgestimmten Band ab.