Aufgabe
Summe der Zahlen 1 bis 100
1. Ansatz der Summe von 1 bis 100
1 = 0*10 + 1
2 = 0*10 + 2
3 = 0*10 + 3
4 = 0*10 + 4
5 = 0*10 + 5
6 = 0*10 + 6
7 = 0*10 + 7
8 = 0*10 + 8
9 = 0*10 + 9
10 = 0*10 + 10________________= 10*0*10 + 55
11 = 1*10 + 1
12 = 1*10 + 2
13 = 1*10 + 3
14 = 1*10 + 4
15 = 1*10 + 5
16 = 1*10 + 6
17 = 1*10 + 7
18 = 1*10 + 8
19 = 1*10 + 9
20 = 1*10 + 10________________= 10*1*10 + 55
21 = 2*10 + 1
22 = 2*10 + 2
23 = 2*10 + 3
24 = 2*10 + 4
25 = 2*10 + 5
26 = 2*10 + 6
27 = 2*10 + 7
28 = 2*10 + 8
29 = 2*10 + 9
30 = 2*10 + 10________________= 10*2*10 + 55
.............................................
100 = 9*10 + 10________________= 10*9*10 + 55
________________________________________________________
= 10*(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*10 + 10*55
= 10*45*10 + 550
= 4500 + 550
= 5050
2. Ansatz der Summe von 1 bis 100
1 + 2 + 2 + ........... + 48 + 49 + 50
100 + 99 + 98 + ........... + 53 + 52 + 51
_______________________________________________
101 + 101 + 101 + ........... + 101 + 101 + 101
= 50 * 101
= 5050
3. Ansatz der Summe von 1 bis 100
1 + 2 + 2 + ........... + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ........... + 3 + 2 + 1
_______________________________________________
101 + 101 + 101 + ........... + 101 + 101 + 101
= 100 * 101 / 2
= 5050
Hieraus kann man auf die allgemeine Formel n(n+1)/2 kommen.
Mathematischer Satz
Definition: Summenzeichen:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k
Satz: (Summe der Zahlen 1 bis n) = n(n+1)/2
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}
Beweis
Beweismethode: Vollständige Induktion
Aufgabe: Addieren der Zahlen 1 bis 100
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100\cdot(100+1)}{2}
Aufgaben
Summe der ersten n geraden Zahlen (Formel erarbeiten und mit vollständiger Induktion beweisen) (n**2+n)
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n 2k = n^2+n
Summe der ersten n ungeraden Zahlen (Formel erarbeiten und mit vollständiger Induktion beweisen) (n**2)
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n 2k-1 = n^2
(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra
weitere Bespiele für Beweise per Vollständiger Induktion:
Summe (i=1 bis n) von i**2 = n(n+1)(2n+1)/6 (Summe der ersten n Quadratzahlen)
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Summe (i=1 bis n) von i**3 = (n(n+1)/2)**2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = {(\frac{n(n+1)}{2}})^2
Summe (i=1 bis n) von i**4 = n(n+1)(2n+1)(3n**2+3n-1)/30 (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}
Summe (i=1 bis n) von i**5 = (n**2 (n+1)**2 (2n**2 + 2n-1))/12 (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)
Formel:
\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 = \frac{(n^2)(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}