Etymologie, Etimología, Étymologie, Etimologia, Etymology
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Kombinatorik, Combinatoria, Analyse combinatoire, Calcolo combinatorio, Combinatorial Analysis

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Dürer-Quadrat
Magisches Quadrat (W3)

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1


Das "Dürer-Quadrat" findet man in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I. Es enthält eine große Anzahl an "regelmäßigen" Vierergruppen, die die Summe 34 ergeben. Außerdem findet man in der unteren Reihe das Entstehungsjahr "1514" und wenn man "4" und "1" durch die entsprechenden Buchstaben im Alphabet ersetzt erhält man "DA", die Initialen von "Dürer Albrecht".

Dürers Name taucht in der Mathematik auch als "Dürer's Muschelkurve", "Dürers Polyeder" aus Melencolia I (kein archimedischer Körper), "Durer's Shell Curves", "Dürer's Conchoid", "Dürer's Magic Square", "Dürer's Shell Curve", "Dürer's Solid" auf.

Vorweg noch ein paar mathematische Überlegungen:

Es gibt insgesamt 16! = 20.922.789.888.000 verschiedene Möglichkeiten die Zahlen 1 bis 16 in einem 4*4-Quadrat anzuordnen. Eine davon ist das Dürer-Quadrat.

Die Summe der vier Zahlen einer Reihe bzw. einer Spalte muss jeweils 34 ergeben. Das ergibt sich durch Addition der Zahlen von 1 bis 16 und die Division durch vier. Als Formel kommt man zu (16 * 17) / (4 * 2) = 2 * 17 = 34.

Interessant dürfte auch noch sein, dass jeweils die zwei zum Mittelpunkt symmetrischen Zahlen die Summe 17 ergeben.

Ausgehend von dem Dürer-Quadrat kann man jeweils zwei Reihen oder zwei Spalten vertauschen ohne dass sich die Reihensumme bzw. die Spaltensumme verändert. Rechnerisch gibt es 4*3*2*1 Möglichkeiten die Reihen und ebenfalls 24 Möglichkeiten, die Spalten anzuordnen. Wenn ich keinen Denkfehler mache, müsste es also mindestens 24*24 = 576 Möglichkeiten geben die Zahlen 1 bis 16 so anzuordnen, dass alle Zeilen und Spalten jeweils die Summe 34 ergeben. Ob darunter jedoch ein weiteres Quadrat zu finden ist in dem auch die Diagonalen und die anderen - wie folgt dargestellten - "34-Kombinationen" zu finden ist, habe ich nicht überprüft. Immerhin sollten jedoch alle Quadrate, die durch Drehung, Punktspiegelung und Geradenspiegelung aus dem Dürer-Quadrat entstehen die gleichen Eigenschaften haben.

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Die Summe "34" findet man in: des Dürer-Quadrats.

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(E?)(L?) http://www.denhoff.de/werkkommentare.htm#op26

MELANCOLIA op. 26 (1980)

Annäherungen an einen Kupferstich von Dürer

für kleines Orchester

Dürers Kupferstich „Melencolia I“ hat seit seiner Entstehung 1514 (dem Todesjahr seiner Mutter) viele Deutungen erfahren und auch heute noch gibt es Rätsel auf. Kunstwissenschaftler und -historiker haben immer wieder in dem allegorischen Beiwerk der die Melancholie gleichsam personifizierenden Engelsgestalt nach dem Schlüssel zum Verständnis gesucht. Kugel, Polyeder und magisches Zahlenquadrat als Symbole des Unendlichen und Vollkommenen, aber ebenso auch des Ausweglosen, wie die zerrinnende Zeit - dargestellt in der Sanduhr -, können als Ausgangspunkt und Sinnbild melancholischer Seelenstimmung verstanden werden. Die Kunsthistoriker Wölfflin und Borinsky vermuteten, daß Dürer ein weiteres Blatt Melencolia II geplant hatte, das die hoffnungslose Seelenkrankheit darstellt, bei der die schwarzen Säfte den Körper hochsteigen, so wie Marsilius Ficinus die Depression als zweite Seite der Melancholie in seinem 1500 entstandenem Buch über das dreifache Leben („De vita triplici“) beschreibt. Diese einleuchtende Vermutung veranlaßte mich, als klangliches Gegenbild zu Melencolia I und als akustische Vision eines nicht vorhandenen Blattes von Dürer auch einen Satz Melencolia II zu entwerfen. Im Zentrum meines Stückes für kleines Orchester, in dem die heruntergedunkelten Orchesterfarben dominieren, steht ein Satz, dem ein magisches Klangquadrat zugrunde liegt, das Form und Harmonik bestimmt. Analog zu Dürers Zahlenquadrat ergeben jeweils vier dreitönige Akkorde - horizontal, vertikal, diagonal u.s.w. gelesen - stets das Total aller zwölf Töne. Zudem ist jeder Akkord über den Mittelpunkt des Quadrates in einen anderen in seiner Intervallkonstellation gespiegelt.


(E?)(L?) http://www.denhoff.de/klangbildklang.htm

Vom Bild-Klang zum Klang-Bild

zum Verhältnis von Bild und Musik in meinen Stücken zu Dürer, Goya und Anderen

Konvergieren Malerei und Musik nicht durch Anähnelung, so treffen sie sich in einem Dritten: beide sind Sprache. ...Es handelt sich hier um namenlose, unakustische Sprachen, um Sprachen aus dem Material; dabei ist an die materiale Gemeinsamkeit der Dinge in ihrer Mitteilung zu denken.

(Theodor W. Adorno)
...


(E?)(L?) http://www.google.de/search?q=Dürer-Quadrat


(E?)(L?) http://mathworld.wolfram.com/DuerersMagicSquare.html

Dürer's Magic Square


(E?)(L?) http://mathworld.wolfram.com/letters/D.html




(E?)(L?) http://www.spektrum.de/artikel/947214&_z=798888


(E?)(L?) http://www.spektrum.de/sixcms/media.php/924/April_2008_D%FCrer.pdf
April 2008
Vor 480 Jahren starb Albrecht Dürer
20.03.08 | Seine Kunstwerke machten ihn berühmt, doch Albrecht Dürer war auch ein herausragender Mathematiker. Einige seiner Werke zeugen von seiner mathematischen Schaffenskraft. » weiter
PDF herunterladen (1.3 MB)

(E?)(L1) http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/D.html
Dürer, Albrecht (2553*)

(E?)(L?) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Durers.html

Durer's Shell Curves


(E?)(L?) http://www.trump.de/magic-squares/

Notes on Magic Squares and Cubes by Walter Trump


(E?)(L?) http://stubber.math-inf.uni-greifswald.de/sonstiges/flachsmeyer/duerer.pdf

Vortrag im Greifswalder Krupp-Kolleg am 22. Mai 2006 in der Reihe Natur und Geist.
Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I.
Zur Aktualität eines Denkbildes vom Spätmittelalter bis in die Gegenwart
Jürgen Flachsmeyer
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(E?)(L?) https://de.wikipedia.org/wiki/Magisches_Klangquadrat

Magisches Klangquadrat

Auch in der Musik findet man die Beschäftigung mit dem Phänomen Magischer Quadrate. So verwies Anton Webern auf das Sator-Quadrat, um die Konstruktion seiner Zwölftonreihen zu erläutern, die – wie etwa bei der seines Streichquartetts op. 28 – neben der Grundgestalt auch schon Krebs, Umkehr und Krebsumkehr in sich eingeschrieben haben.

Ein magisches Klang-Quadrat veröffentlichte erstmals 1993 der Komponist Michael Denhoff in der „Neuen Zeitschrift für Musik“. Dort erläuterte er in einem Aufsatz „Vom Bild-Klang zum Klang-Bild“ das Verhältnis seiner Musik zu Werken diverser Maler.
...


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Magisches_Quadrat#Das_magische_Quadrat_von_Albrecht_D.C3.BCrer

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Das magische Quadrat von Albrecht Dürer

Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I zu finden. Das Dürer-Quadrat hat folgende Eigenschaften:

16  3  2 13
 5 10 11  8
 9  6  7 12
 4 15 14  1


...


(E?)(L?) http://vs-material.wegerer.at/mathe/pdf_m/add_sub/zr100/Duererquadrat1.pdf

Das Dürerquadrat. Das ist das magische Quadrat von Albrecht Dürer. Wie oft findest du die Zahl 34?


(E?)(L?) http://de.wikipedia.org/wiki/Melencolia_I

...
Unterhalb der Glocke ist ein magisches Quadrat in die Mauer graviert. Es enthält die Zahl 1514, das Jahr, in dem das Kunstwerk geschaffen wurde (wiederholt zusammen mit dem üblichen AD-Signet auf der Stufe am rechten Bildrand) und zudem das Todesjahr von Dürers Mutter. Um die Jahreszahl 1514 befinden sich die Zahlen 4 und 1, die für die Initialen DA stehen, wenn man sie als Position im Alphabet interpretiert. Wie die geometrischen Figuren und der Zirkel in der Hand der engelhaften Gestalt ein Symbol für die Geometrie und Mathematik, mit der sich Dürer intensiv beschäftigt hatte.

Des Weiteren findet sich im Quadrat eine verschlüsselte Botschaft. Man kann jede Zeile aufsummieren und man erhält die Zahl 34, dasselbe gilt für jede Spalte. Dreht man die Zahl 34 um, so erhält man die Zahl 43, die das Alter Dürers im Jahr 1514 wiedergibt. Auch in den beiden Diagonalen, in etlichen weiteren symmetrisch angeordneten Zahlengruppen (16+13+4+1, 5+3+14+12, 5+8+9+12) und in den in der Form eines Drachenvierecks liegenden Kästchen (3+5+11+15) ist die Summe 34 versteckt. Ebenso ergeben die Zahlen in den vier Quadranten, den vier Zahlen im Zentrum und den vier Zahlen in den Ecken 34. Bildet man die Quersumme der zweistelligen Zahlen (also 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16) und summiert diese auch wieder nach Zeilen und Spalten auf (also 1+6+3+2+1+3 für Zeile 1), erhält man die Zahl 16 (Das trifft auch für die Diagonalen und die oben erwähnten in symmetrischer Anordnung verteilten Kästchen zu.), außer in der dritten Zeile und der ersten Spalte, dort beträgt die Summe 25. Die Ziffer 9 im Kreuzungspunkt der dritten Zeile und der ersten Spalte ist in einer älteren Schreibvariante oder in Spiegelschrift dargestellt, die 5 im Feld darüber, die eine an gleicher Stelle zuvor vorhandene 6 ersetzt, ebenfalls in einer älteren Schreibvariante (vgl. die andere 5) oder kopfstehend.
...


(E1)(L1) http://ngrams.googlelabs.com/graph?corpus=8&content=Dürer-Quadrat
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Dürer-Quadrat" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-11

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Steger, Angelika (Autor)
Diskrete Strukturen
1. Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra

Taschenbuch: 270 Seiten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg; Auflage: 2., Aufl. (13. September 2007)
Sprache: Deutsch


Dieses Lehrbuch umfaßt einen Kanon von Themen, der an vielen Universitäten unter dem Titel "Diskrete Strukturen" fester Bestandteil des Informatik-Grundstudiums geworden ist. Bei der Darstellung wird neben der mathematischen Exaktheit besonderer Wert darauf gelegt, auch das intuitive Verständnis zu fördern, um so das Verstehen und Einordnen des Stoffs zu erleichtern. Unterstützt wird dies durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben. Das Lehrbuch basiert auf Vorlesungen, die seit mehreren Jahren an der Technischen Universität München gehalten werden. Themen: Kombinatorik, Graphentheorie, Algorithmische Grundprinzipien, Algebra, Rekursionsgleichungen.

ZIELGRUPPE: Studenten der Informatik


Erstellt: 2011-12

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