A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Peano-Axiome (W3)

• 1 (neuerdings 0) ist eine natürliche Zahl.
• Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
• 1 (neuerdings 0) ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
• Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
• Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 (neuerdings 0) enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
• (Wenn eine Aussage über natürliche Zahlen für 1 richtig ist, und wenn aus ihrer Richtigkeit für irgendeine natürliche Zahl n ihre Richtigkeit für den Nachfolger n' folgt, so gilt die Aussage für alle natürlichen Zahlen.) (Prinzip der vollständigen Induktion)

Théorème de Cauchy-Peano

Arithmétique de Peano
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• 0 est un entier naturel.
• Tout entier naturel a possède un successeur, noté S(a).
• Il n'existe pas d'entier naturel dont le successeur est 0.
• Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.
• Si une propriété est vérifiée par 0 et si, pour tout entier naturel a qui la vérifie, S(a) la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.

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Courbes fractales de Peano et de Hilbert

Peano, Giuseppe

"Peano axioms", also known as "Peano’s postulates", in number theory, five axioms introduced in 1889 by Italian mathematician "Giuseppe Peano". Like the axioms for geometry devised by Greek mathematician Euclid (c. 300 bce), the "Peano axioms" were meant to provide a rigorous foundation for the natural numbers (0, 1, 2, 3,…) used in arithmetic, number theory, and set theory. In particular, the "Peano axioms" enable an infinite set to be generated by a finite set of symbols and rules.

The five Peano axioms are:

• Zero is a natural number.
• Every natural number has a successor in the natural numbers.
• Zero is not the successor of any natural number.
• If the successor of two natural numbers is the same, then the two original numbers are the same.
• If a set contains zero and the successor of every number is in the set, then the set contains the natural numbers.

The fifth axiom is known as the "principle of induction" because it can be used to establish properties for an infinite number of cases without having to give an infinite number of proofs. In particular, given that P is a property and zero has P and that whenever a natural number has P its successor also has P, it follows that all natural numbers have P.

Giuseppe Peano, (born August 27, 1858, Cuneo, Kingdom of Sardinia [Italy]—died April 20, 1932, Turin, Italy), Italian mathematician and a founder of symbolic logic whose interests centred on the foundations of mathematics and on the development of a formal logical language.
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Plane Filling Curves: All Peano Curves

Peano axioms

PEANO Giuseppe (1858-1932)

GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932), italienischer Mathematiker und Logiker

• * 27. August 1858 Cuneo, Piemonte
• † 20. April 1932 Turin

GIUSEPPE PEANO trug entscheidend zur Weiterentwicklung der mathematischen Logik und zur Herausarbeitung der axiomatischen Methode bei. Des Weiteren wirkte er auf die Symbolik der Mengenlehre.

Von PEANO stammt das (nach ihm benannte und noch heute verwendete) Axiomensystem zum Aufbau der natürlichen Zahlen.
...

11 - Les ensembles de nombres.

"IN" : Origine du symbole "IN", pour les entiers naturels (de naturale en italien)

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) définit l'ensemble des entiers naturels non nuls par des axiomes qui portent aujourd'hui son nom et le note "N" ( Il deviendra ensuite IN pour désigner l'ensemble des nombres naturels). [HaSu] p276.

CAJORI précise que :

En 1895 dans Formulaire de mathématiques, PEANO utilise "N" pour les entiers positifs non nuls, "n" pour les entiers (relatifs), "N0" pour les entiers positifs (avec "0"), "R" pour les nombres rationnels positifs, "r" pour les nombres rationnels, "Q" pour les nombres réels positifs non nuls, "q" pour les nombres réels, et "Q0" pour les nombres réels positifs (avec "0"). [Cajo] vol. 2, page 299].

L'expression "nombre naturel" apparaît vers 1675, à l'époque où les "nombres négatifs" sont enfin accéptés. [Hauch] p 132

"ID" : Origine du symbole "ID", Ensemble des décimaux: notation française du groupe BOURBAKI en 1970.

"Q" : Origine du symbole "Q", Ensemble des nombres rationnels.

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) aurait utilisé la lettre "Q", première lettre de quotiente mais, selon plusieurs sources, pas pour désigner l'"ensemble des rationnels". Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI dans Algèbre, Chapitre 1. (1969)

Le mot "rationnel" apparaît en mathématiques vers 1550 (en même temps que le terme "irrationnel"). Un "nombre irrationnel" est aussi appelé à l'époque "nombre sourd". Il semblerait que cela vienne d'une mauvaise traduction des mots "rationnel" et "irrationnel" en arabe à l'époque du célèbre mathématicien perse KHWARIZMI Mohammed Ibn musa AL ( khiva 788 - Bagdad 850).

"Z" : Origine du symbole "Z", Ensemble des "nombres relatifs".

Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI dans Algèbre, Chapitre 1. (1969)

La lettre viendrait de "Zahl" ("nombre") et "zahlen" ("compter") de l'allemand.

DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916) et CANTOR Georg (1845-1918) sont souvent cités mais il semble que le premier utilisait "K" pour les entiers et "J" pour les complexes (selon les historiens Walter Felscher, Stacy Langton, Peter Flor, et A. J. Franco de Oliveira).

"IR" : Origine du symbole "IR", "Ensemble des nombres réels". "R"

Les origines de l'utilisation de la lettre "R" puis "IR" pour désigner l'ensemble des réels sont multiples.

Contrairement à ce que l'on lit souvent, CAJORI affirme que DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916) utilise "R" pour les rationnels et le "R gothique", "R", pour les réels dans "Stetigkeit und irrationale Zahlen" (1872).

"C" : Origine du symbole "C", "Ensembles des nombres complexes ou imaginaires".

L'origine du symbole "C" pour désigner l'ensemble des nombres complexes est assez récente. On trouve selon l'historien des mathématiques William C. Waterhouse (en 2001) ce symbole dans les papiers de JACOBSON Nathan (1910 - 1999), "Structure and Automorphisms of Semi-Simple Lie Groups in the Large", (1939).

La seconde édition de "Survey of Modern Algebra" (1953) de Birkhoff and MacLane, utilise aussi "C" (mais "J" pour les entiers, "R" pour les rationnels, "R#" pour les réels).

Le groupe BOURBAKI l'utilise aussi dans ses travaux de 1969 et participe à sa généralisation.

13 - Notations ensemblistes et logiques : "Element von" ; "Schnittmenge" ; "Vereinigungsmenge" ; "Teilmenge von" ; "Obermenge von"

Origine des symboles intersection et union : "Schnittmenge" et "Vereinigungsmenge"

Les symboles "Schnittmenge" and "Vereinigungsmenge" sont utilisés pour la première fois par le mathématicien allemand GRASSMANN Hermann (1809-1877) dans Die Ausdehnungslehre von (1844) mais il les utilise comme symbole d'opération, pas nécessairement pour désigner l'union et l'intersection.

Puis c'est le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) qui les utilise à cet usage en 1888 dans Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann ([Cajo] page 298).

Histoire du symbole "il existe" : "es existiert"

C'est le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) qui utilise le symbole "es existiert" dans Formulaire de mathematiqués, en 1897.

Histoire du symbole "appartient à" : "Element von".

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) utilise le symbole "epsilon" dans ses Arithmetices prinicipia nova methodo exposita, en 1889 et dans Formulaire de mathematiqués, en 1897, pour désigner l'appartenance à un ensemble. Cela viendrait en fait de la première lettre du mot grec qui signifie est.

Le symbole "Element von" pour désigner l'appartenance apparaitrait dans le traité du mathématicien anglais RUSSELL Bertrand Arthur William (1872-1970), Principles of Mathematics en 1903.

Histoire du symbole "pour tout ou quelque soit" : "für alle".

CAJORI, insiste sur le fait que l'italien PEANO Giuseppe (1858-1932) utilise le symbole "für alle" ("pour tout") avant l'anglais RUSSELL Bertrand Arthur William (1872-1970).

RUSSELL utilisait la notation "(x)" signifiant "pour tout x".

Histoire du symbole "ensemble vide" : Ø.

Ce symbole pour désigner l'ensemble vide apparait dans les travaux du groupe BOURBAKI Éléments de mathématique Fasc.1: Les structures fondamentales de l'analyse; Liv.1: Théorie des ensembles. (Fascicule de resultants) (1939): "certaines propriétés... ne sont vraies pour aucun élément de E... la partie qu’elles définissent est appelée la partie vide de E, et designée par la notation Ø."

Le mathematicien français André WEIL (1906-1998), membre du groupe BOURBAKI, se dit responsable de l'introduction de ce symbole.

Histoire du symbole "équivaut à" : "<-->" et "<==>" .

Le symbol "<-->" pour désigner une équivalence logique apparait en 1936 dans le traité du mathématicien allemand Wilhelm Ackermann (1896 - 1962) Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre.

La double flêche "<==>" est utilisée en 1954 par les BOURBAKI dans Theorie des ensembles, 3. edition, Paris, 1954.

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(il existe) PEANO (1858-1932)/ FREGE

"A - B" ("différence symétrique"), "es existiert", "Schnittmenge" ; "Vereinigungsmenge" ; "Teilmenge von" PEANO (1858-1932)
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COURBE DE PEANO | Peano's curve | peanosche Kurve

COURBE REMPLISSANTE | (plane- or space-) filling curve | füllende Kurve

Giuseppe Peano

• Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
• Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien

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Hilbert- und Peanokurven

Giuseppe Peano

• Born: 27-Aug-1858
• Birthplace: Cuneo, Sardinia
• Died: 20-Apr-1932
• Location of death: Turin, Italy
• Cause of death: Heart Failure
• Gender: Male
• Race or Ethnicity: White
• Sexual orientation: Straight
• Occupation: Mathematician
• Nationality: Italy
• Executive summary: Infinitesimal calculus
• Father: (d. 1888)
• Mother: (d. 1910)
• Wife: Carola Crosio (m. 27-Jul-1887)

• University: University of Turin (1876-80, high honors)
• Professor: Assistant Professor, University of Turin (1880-90)
• Professor: Royal Military Academy, Turin (1886-1901)
• Professor: University of Turin (1890-1932)

Author of books:

• Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale (1884, mathematics)
• Applicazioni Geometriche del Calcolo Infinitesimale (1887, mathematics)
• Lezioni di Analisi Infinitesimale (1893, mathematics, 2 vols.)

Peano, Giuseppe (1858-1932)

Italian mathematician and logician who formalized Dedekind's insight that the arithmetic of natural numbers could be constructed as an axiomatic system. In Arithmetices principia nova methodo exposita (The principles of arithmetic, presented by a new method) (1889) Peano showed how to derive all of arithmetic from the principles of logic, together with a set of nine postulates about numbers:

• 1 is a number.
• Every number is equal to itself.
• Numerical equality is commutative.
• Numbers both equal to a third are equal to each other.
• Anything equal to a number is a number.
• The successor of any number is a number.
• No two distinct numbers have the same successor.
• 1 is not the successor of any number.
• Any property that is: (a) true of 0, and (b) if true of any number is true of its successor, must be true of all numbers.

This foundation for mathematical induction was an important step toward the twentieth-century logicization of arithmetic.

Recommended Reading: Selected works of Giuseppe Peano (Toronto, 1973); Hubert Kennedy, Peano: Life and Work of Guiseppe Peano (Kluwer, 1980); and D. A. Gillies, Frege, Dedekind, and Peano on the Foundation of Arithmetic (Van Gorcum, 1988).

Also see WSB, MMT, and EB.

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Bereits Richard Dedekind hatte 1888 in der Schrift »Was sind und was sollen die Zahlen« versucht, den Aufbau der natürlichen Zahlen durch mengentheoretische Überlegungen zu begründen. Peano greift diese Ansätze auf und veröffentlicht im darauf folgenden Jahr seine »Arithmetices principia: nova methodo« – in lateinischer Sprache (!). Es enthält unter anderem die berühmten, nach ihm benannten Peano-Axiome, mit denen die Menge der natürlichen Zahlen charakterisiert werden kann.

Später ersetzt er in den Axiomen die Zahl Eins durch die Zahl Null als kleinste natürliche Zahl.

Peano-Axiome der natürlichen Zahlen

• (P1) 1 ist eine natürliche Zahl.
• (P2) Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
• (P3) 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
• (P4) Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
• (P5) Enthält die Menge X die 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

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Dann aber ist Peano von der Idee einer universellen Sprache so fasziniert, dass er sich von da an fast nur noch mit diesem Projekt beschäftigt: Er entwickelt die Sprache »Latino sine flexione« (später »Interlingua« genannt), die im Wesentlichen lateinische Wörter verwendet (ergänzt durch Vokabeln anderer Sprachen), aber ohne Grammatik. Dass er den letzten Band seiner »Formulario Mathematico« in dieser Kunstsprache verfasst, hat sicherlich dazu beigetragen, dass dieses Werk, das mehr als 4000 mathematische Sätze und Formeln umfasst, kaum Beachtung findet.
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• 1886: Peano proves that if f(x, y) is continuous then the first order differential equation dy/dx = f(x, y) has a solution.
• 1888: Dedekind publishes "Was sind und was sollen die Zahlen?" ("The Nature and Meaning of Numbers"). He puts arithmetic on a rigorous foundation giving what were later known as the "Peano axioms".
• 1889: Peano publishes Arithmetices principia, nova methodo exposita (The Principles of Arithmetic) which gives the "Peano axioms" defining the natural numbers in terms of sets.
• 1890: Peano discovers a space filling curve.

Giuseppe Peano

References for Giuseppe Peano

A quotation by Giuseppe Peano

Questions that pertain to the foundations of mathematics, although treated by many in recent times, still lack a satisfactory solution. Ambiguity of language is philosophy's main source of problems. That is why it is of the utmost importance to examine attentively the very words we use.

Opening of the paper Arithmetices principia in which he introduced axioms for the integers.

Peano Axiome

Satz von Peano

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Axiomatisierung
Richard Dedekind definierte 1888 erstmals die natürlichen Zahlen implizit durch Axiome.

Unabhängig von ihm stellte "Giuseppe Peano" 1889 ein einfacheres und zugleich formal präzises Axiomensystem auf. Diese sogenannten Peano-Axiome haben sich durchgesetzt.

Während sich das ursprüngliche Axiomensystem in Prädikatenlogik zweiter Stufe formalisieren lässt, wird heute oft eine schwächere Variante in Prädikatenlogik erster Stufe verwendet, die als Peano-Arithmetik bezeichnet wird. Andere Axiomatisierungen der natürlichen Zahlen, die mit der Peano-Arithmetik verwandt sind, sind beispielsweise die Robinson-Arithmetik und die Primitiv rekursive Arithmetik.
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Giuseppe Peano (* 27. August 1858 in Spinetta, heute Teil von Cuneo, Piemont; † 20. April 1932 in Turin) war ein italienischer Mathematiker. Er arbeitete in Turin und befasste sich mit mathematischer Logik, mit der Axiomatik der natürlichen Zahlen (Entwicklung der Peano-Axiome) und mit Differentialgleichungen erster Ordnung.
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Peano als Linguist
Auf dem Gebiet der Linguistik machte sich Peano einen Namen, als er die Plansprache Latino sine flexione (= Latein ohne Beugung) schuf. Dies war ein Versuch, die ehemalige Weltsprache Latein wiederzubeleben, indem der weitgehend bekannte Wortschatz gewahrt wurde, die Schwierigkeiten der lateinischen Sprache aber weitgehend getilgt wurden. Dieses Latino sine flexione ging später in Interlingua auf.

Auch Teile seines Buchprojekts Formulario Matematico schrieb er in dieser Sprache.
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Ursprüngliche Formalisierung

Peano betrachtete ursprünglich 1 als kleinste natürliche Zahl. In seiner späteren Version der Axiome, die im folgenden modern notiert sind, ersetzte er 1 durch 0.

Die Axiome haben dann folgende Form:
...
Diese Axiome lassen sich folgendermaßen verbalisieren, wobei der Operator n' als "Nachfolger von n" gelesen wird:

• 1. 0 ist eine natürliche Zahl.
• 2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
• 3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
• 4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
• 5. Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Das letzte Axiom heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Auch garantiert es, dass Peanos rekursive Definitionen der Addition und Multiplikation auf N überhaupt wohldefiniert sind:

• n + 0 := n
• n + m' := (n + m)'
• n * 0 := 0
• n * m' := (n * m) + n

Die Eins definierte Peano als Nachfolger der Null:

• 1 := 0'

Aus dieser Definition folgt mit der Additionsdefinition für den Nachfolger n' = n + 1.

Peano setzte als Rahmen eine Klassenlogik voraus. Sein Axiomensystem ist auch in der Mengenlehre interpretierbar oder auch in der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Zahlenvariablen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt.

Giuseppe Peano (Italian: 27 August 1858 – 20 April 1932) was an Italian mathematician and glottologist. The author of over 200 books and papers, he was a founder of mathematical logic and set theory, to which he contributed much notation. The standard axiomatization of the natural numbers is named the "Peano axioms" in his honor. As part of this effort, he made key contributions to the modern rigorous and systematic treatment of the method of mathematical induction. He spent most of his career teaching mathematics at the University of Turin. He also wrote an international auxiliary language, the "Latino sine flexione" ("Latin without inflections"), which is a simplified version of the Classical Latin. Most of his books and papers are in "Latin sine flexione", other ones are in Italian.
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Peano axioms

In mathematical logic, the "Peano axioms", also known as the "Dedekind–Peano axioms" or the "Peano postulates", are axioms for the natural numbers presented by the 19th century Italian mathematician "Giuseppe Peano". These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of whether number theory is consistent and complete.
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In geometry, the "Peano curve" is the first example of a space-filling curve to be discovered, by "Giuseppe Peano" in 1890. "Peano's curve" is a surjective, continuous function from the unit interval onto the unit square, however it is not injective. Peano was motivated by an earlier result of Georg Cantor that these two sets have the same cardinality. Because of this example, some authors use the phrase "Peano curve" to refer more generally to any space-filling curve.
...

Peano, Giuseppe (1858-1932)

• Peano Arithmetic
• Peano's Axioms
• Peano Curve
• Peano-Gosper Curve
• Peano Surface

• Peano Arithmetic
• Peano Curve
• Peano-Gosper Curve
• Peano's Axioms

Peano Surface

peano-arithmetic, Noun (uncountable)

(logic) A set of axioms of first-order logic for the natural numbers specifying the operations of zero, successor, addition and multiplication, including a first-order schema of induction.

Origin: After Italian mathematician Giuseppe Peano (1858–1932).

peano-curve, Noun (plural Peano curves)

(analysis) A space-filling curve in the 2-dimensional plane.

Origin: Named after its discoverer, Giuseppe Peano.

Q

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U

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W

X

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DE Deutschland, Alemania, Allemagne, Germania, Germany, (esper.) Germanujo
Arithmetik, Aritmética, Arithmétique, Aritmetica, Arithmetic, (esper.) aritmetiko

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