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Algebra (W3)

(lineare) Algebra - Deutsch-Englisch

(lineare) Algebra - Englisch-Deutsch

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... persischen Mathematiker "Muhammad ibn Musa", nach seinem Heimatort "al-Chwarismi" genannt. Er lebte im 9. Jahrhundert und schrieb ein Mathematikbuch, dessen verkürzter Titel "al-Dschabr" "Einrenkung" in einem anderen mathematischen Fachausdruck weiterlebt, nämlich "Algebra" "Rechnung mit Gleichungen".
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Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik, das sich der Struktur, Relation und der Menge widmet. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet (zum Beispiel x + 1 = 2).

Inhaltsverzeichnis

• 1 Wortgeschichte
• 2 Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung
• 3 Algebra als mathematische Struktur
• 4 „Algebraisch“ als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen
• 5 „Algebraische“ Teilgebiete der Mathematik
• 6 Siehe auch
• 7 Literatur
• 8 Weblinks

Wortgeschichte
Eine der ersten Darstellungen der Algebra ist das "Aryabhattiya", ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers "Aryabhata" aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde "Bijaganitam" genannt. Ab dem 9. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten dann muslimische Gelehrte diese Methode, die sie "al-gabr" (von arab.: "das Ergänzen"/"das Einrichten") nannten. Der Begriff ist aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs "al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala" ("Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen", entstanden um 825) des Mathematikers und Universalgelehrten "al-Chwarizmi" entnommen, der im 9. Jahrhundert in Bagdad wirkte. Vier Jahrhunderte nach der Publikation des Buches erschien seine lateinische Übersetzung "Ludus algebrae almucgrabalaeque". Aus "al-gabr" entwickelte sich das heutige Wort "Algebra".
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Algebra (W3)

• Algebraische Geometrie
• Algebraische Gleichungen, Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit rationalen oder ganzzahligen Koeffizienten
• Algebraische Struktur
• Anwendungen in der Geometrie und der Zahlentheorie
• Cardanosche Formel - Lösung für Gleichungen dritten Grades
• codieren
• Codierungstheorie
• Deformationstheorie algebraischer Varietäten
• Delisches Problem: Gegeben sei ein Würfel mit Kantenlänge 1. Ist es möglich mit Zirkel und Lineal die Kantenlänge a= eines Würfels mit doppeltem Volumen zu konstruieren?
• entschlüsseln
• Entschlüsselung
• Fermatsches Problem (Lösung von Andrew Wiles)
• Fundamentalsatz der Algebra: in den komplexen Zahlen zerfällt jede Gleichung in Linearfaktoren, d.h. die Anzahl der Nullstellen mit dem Grad der Gleichung übereinstimmt
• Galois-Theorie
• Gruppe
• Gruppentheorie
• homologische Algebra
• Imaginäre Zahlen
• Informationsverschlüsselung
• Kommutativität
• Komplexe Zahlen = reelle und imaginäre Zahlen
• Kryptographie
• Körper
• Lineare Algebra
• Logik (Boolesche Algebra)
• Lösung von polynomialen Gleichungssystemen
• Mengen mit zusätzlichen Strukturen
• Mirrorsymmetrie
• Nullstelle
• pq-Formel
• Quadratische Gleichung
• Quadratur des Kreises: Ist es möglich mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt, wie der eines Kreises mit Radius 1 zu konstruieren?
• Radikale, verschachtelte Wurzelausdrücke
• Ringtheorie
• Vektorraum über Körpern, die Körpertheorie
• Verknüpfungen auf einer Menge
• Winkeldreiteilung: Gegeben sei ein beliebiger Winkel. Ist es möglich, mit Zirkel und Lineal diesen Winkel in drei gleichgroße Winkel zu zerlegen?
• Zahlentheorie

• Abel, Niels Henrik (1802-1829)
• Al-Hwarizmi
• Betti, Enrico (1823-1892)
• Cardano, Geronimo
• Euler, Leonard (1707-1783)
• Euler, Leonhard
• Ferrari, Ludovico (1522-1569) - für Gleichungen vierten Grades
• Fibonacci, Leonardo - Leonardo von Pisa (ca. 1170-1250)
• Galois, Evariste (1811-1832)
• Gauß, Carl-Friedrich (1777-1855) gleich vier voneinander unabhängige Beweise, deren erster aus dem Jahre 1799 Gegenstand seiner Dissertation war.
• Newton, Isaac (1643-1727)
• Tartaglia, Niccolo (1499-1557)

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algebraicsurface
Algebraische Oberflächen

Bilder Animationen Visualisierungs-Software

Es gibt viele Seiten mit Bildern algebraischer Flächen im Netz. Hier eine Auswahl:

Einige meiner Seiten:

Kubische Flächen, Meine SuSE-Linux Titelbilder, Flächen mit vielen Singularitäten.

Einige andere Seiten:

S. Endraß' Seite über Flächen mit vielen Singularitäten, Flächen-Bilder von H. Hauser und S. Gann, Steiner Surfaces (von A. Coffman), Some Beautiful Surfaces (von B. Hunt).

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gierhardt
Formelsammlung - Algebra

Kleine Algebra-Formelsammlung
Mittelstufe (bis Klasse 10)
Dargestellt sind die wichtigsten Fakten und Gesetze, wobei diverse Ausnahmeregeln wie z.B. das Verbot der Division durch Null nicht immer angegeben sind.
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Gruppe (W3)

Unter einer Gruppe (G,*) versteht man eine nichtleere Menge G mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Auf G existiert eine (innere) Verknüpfung *, d. h. je zwei Elementen a und b aus G ist ein drittes Element a*b aus G zugeordnet.

(2) Die Verknüpfung ist assoziativ, d. h. für alle a, b und c aus G hat man a*(b*c) = (a*b)*c.

(3) Es gibt ein Einselement e von (G,*), d. h. für alle a aus G gilt: e*a = a = a*e.

(4) Zu jedem a aus G existiert ein inverses Element a**-1 aus G mit: a*a**-1 = e = a**-1*a.

Eine Gruppe (G,*) heißt kommutativ oder abelsch (Niels Henrik Abel), wenn * kommutativ ist, d. h. wenn für alle a und b aus G gilt: a*b = b*a.

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Beispiele für abelsche Gruppen sind

• die ganzen Zahlen Z mit der Addition + als Verknüpfung und der Null als neutralem Element
• die rationalen Zahlen Q ohne Null mit der Multiplikation * als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt: „1/0“ ist nicht definiert.

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Halbgruppe (W3)

Unter einer Halbgruppe (G,*) versteht man ein Gruppoid (G,*), in dem das Assoziativgesetz gilt, d. h. für alle a, b und c aus G hat man

(12) a * (b * c) = (a * b) * c.

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Halbring (W3)

Unter einem Halbring (S,+,*) versteht man eine nichtleere Menge S, auf der zwei (innere) Verknüpfungen, eine Addition + und eine Multiplikation *, definiert sind, so daß die folgenden Axiome gelten.

(1) (S,+) ist eine Halbgruppe.
(2) (S,*) ist eine Halbgruppe.

Es gelten das linksseitige Distributivgesetz

(3) a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

und das rechtsseitige Distributivgesetz

(4) (b+c)*a = (b*a) + (c*a)

jeweils für alle a, b, c aus S.

Man verabredet üblicherweise, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition, und läßt das Multiplikationszeichen meist weg, also kurz (3) a(b+c) = ab + ac bzw. (4) (b+c)a = ba + ca.

Ist in einem Halbring (S,+) kommutativ, so spricht man von einem additiv kommutativen Halbring, ist (S,*) kommutativ, so spricht man von einem multiplikativ kommutativen Halbring. Entsprechend verfährt man bezüglich der Idempotenz beider Verknüpfungen. Sind beide Verknüpfungen kommutativ (idempotent), so nennt man (S,+,*) einen kommutativen (idempotenten) Halbring. Mit E+ werde allgemein die Menge der idempotenten Elemente von (S,+), mit E* die Menge der idempotenten Elemente von (S,*) bezeichnet.

In jedem Halbring (S,+,*)ist E+ leer oder ein Ideal von (S,*). Für jedes e = e + e aus E+ und jedes s aus s gilt s*e = s*(e + e) = s*e + s*e, also ist S*E+ in E+ enthalten. Mit Hilfe des rechtsseitigen Distributivgesetzes folgt auch die Inklusion von E+*S in E+.

Besitzt (S,+,*) ein Linkseinselement el gemäß el * a = a für alle a aus S, so ist E+ sogar ein Halbringideal. Für e,f aus E+ gilt dann nämlich e + f + e + f =el*(e + f) + el*(e + f) = (el + el)*(e + f) = (el + el)*e + (el + el)*f = e + e + f + f = e + f, d. h. E+ ist auch Unterhalbgruppe von (S,+).

Dasselbe gilt natürlich für ein Rechtseinselement.

E+ ist natürlich auch dann ein Halbringideal, wenn (S,+) kommutativ ist.

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heise.de - DVdA
Diophantos: Vater der Algebra

19. März 2017 Raúl Rojas

Die Alternative zur Geometrisierung ist die sogenannte Algebraisierung: Man schreibt numerische Aufgaben direkt als symbolische Gleichungen - diese werden Schritt für Schritt reduziert, bis der Wert der unbekannten Größe vorliegt, so wie wir es heute in der Schule tun.

Algebra ist jedoch etwas, das etliche Jahrhunderte für seine Reifung benötigte. Im Grunde wurde die Algebraisierung der Mathematik erst im 19. Jahrhundert abgeschlossen. So lange dauerte es, bis der notwendige Symbolismus und vor allem die richtigen Begriffe vorlagen.

Ein Mathematiker im 12. Jahrhundert konnte sich beispielsweise auf kein allgemein anerkanntes Symbol für die Addition, die Multiplikation und nicht einmal für das Gleichheitszeichen stützen. Numerische Probleme wurden diskursiv aufgestellt und diskursiv gelöst. Liest man solche Bücher heute, ist man zunächst einmal verblüfft, kaum Symbole zu finden, nur Sätze und Sätze, in denen über die Unbekannte, bzw. dem Quadrat der Unbekannten usw. die Rede ist. Das ist, was man heute "rhetorische Algebra" nennt.

Abb. 1: Diophantos "Arithmetica" in der 1296 geschriebenen Handschrift. Rom, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vaticanus graecus 191, ff. 388v. Bild: Public Domain

Es war allerdings auch in Alexandria, wo der erste Schritt zur symbolischen Algebra unternommen wurde. Diophantos war ein Gelehrter, der von vielen als "Vater der Algebra" bezeichnet worden ist. Das Wort "Algebra", mit seinen arabischen Wurzeln, gab es natürlich noch nicht. Von Euklid wissen wir wenig, von Diophantos jedoch weniger. In manchen Ecken ist vermutet worden, Euklid war eher eine Einheit von verbündeten Mathematikern, die gemeinsam unter einem Pseudonym publiziert haben, d.h. so etwas wie die Bourbaki-Gruppe im Frankreich des 20. Jahrhunderts. Zu umfangreich, gewaltig und endgültig wirkt das euklidische Werk um die Kreation eines Einzelnen zu sein.

Über Diophantos von Alexandria gibt es ebenfalls kaum bezeugte Überlieferungen. Es wird vermutet, er hat im 3. Jahrhundert unserer Zeit gelebt. Die ersten existierenden Berichte über ihn wurden allerdings Jahrhunderte nach seinem Tod verfasst. Unumstritten ist jedoch, dass er die nach den Elementen berühmteste mathematische Abhandlung verfasst hat, die "Arithmetik". Heute können wir die sechs erhaltenen Bücher (von ursprünglich 13) lesen, in Übersetzung und mit moderner Notation.

Die "Arithmetik" von Diophantos war bahnbrechend allein durch die Schwierigkeit der gestellten numerischen Aufgaben. Im Werk werden nicht nur quadratische bzw. kubische Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten gelöst, sondern völlig allgemeine Fragen aufgeworfen, wie z.B. die Möglichkeit, eine Summe von Quadraten auf eine andere Summe von Quadraten zu reduzieren.

Das Zweite, das ins Auge springt, ist die Tatsache, dass Diophantos bereits eine symbolische Notation für mathematische Ausdrücke verwendet. Das ist nicht mehr rein rhetorische Algebra, es ist eine hybride Zwischenform, die auf Englisch "syncopated algebra", also etwa "annotierte Algebra", genannt wird. Während aber das geometrische Wissen der Antike in den Folgejahren nicht vergessen wurde, geriet die Arbeit von Diophantos in die Versenkung, bis zuerst die Araber im 10. Jahrhundert und dann die Europäer im 15. Jahrhundert die "Arithmetik" würdigten.

In der Notation von Diophantos wurden die griechischen Buchstaben als Zahlen verwendet (Alpha war 1, Beta 2, usw.) und die Symbole "???" und "???" waren Vertreter für Quadrat bzw. Kubus der Unbekannten. Den Ausdruck "???" könnte man heute beispielsweise als "2x^3+3x^2+1 interpretieren. Die Koeffizienten für die Variablen werden nach dem Quadrat bzw. den Kubus-Symbolen geschrieben. Der Buchstabe "M" kündigt eine Konstante an.

Da Diophantos kein Symbol für Gleichheit hatte und da nicht alles über symbolische Regeln entwickelt wurde, ist die "Arithmetik" ein Hybrid, ein Buch, das zum großen Teil reiner Text ist und in dem nur ab und zu symbolische Ausdrücke verwendet werden. Deswegen nennt man dies eben "annotierte Algebra". Wichtig in diesem Zusammenhang ist jedoch, dass Diophantos einen ausgezeichneten Buchstaben für die Unbekannte ("alogos aritmos") selbst verwendet hat, den Buchstaben "Sigma", in der Variante, der am Ende von Wörtern verwendet wurde (sogenanntes "Terminal-Sigma"). Also noch nicht unser "x" aber so etwas wie ein "s".

Jahrhunderte sind nach Diophantos vergangen und es gab immer wieder die Notwendigkeit über die Unbekannte zu reden. Italienische Mathematiker haben einfach über "das Ding", d.h. "la cosa", gesprochen und Algebra wurde deswegen "arte cossista" genannt, die "Kunst der Dinge". Mathematiker, die Gleichungen lösen konnten, waren bis tief ins 16. Jahrhundert hinein "cossistas".

Es wurde langsam dringend, für die Unbekannte in Gleichungen eine Standardnotation zu verwenden. Es gab viele Zwischenstationen: Fibonacci z.B. hatte bereits Buchstaben verwendet um Zahlen zu repräsentieren, Michael Stifel hatte "q" als Abkürzung für "Quantita" verwendet, und bei einer Übersetzung von 1575 der "Arithmetik" von Diophantos wurde "N" statt "Sigma" verwendet. Viel methodischer war allerdings der zweite "Vater der Algebra", der im 16. Jahrhundert in Erscheinung trat.

Der französische Mathematiker François Viète hat mit seinem Werk von 1591 "Isagoge in artem analyticam" die Schraube der mathematischen Notation nochmal weiter gedreht. Er hat einerseits mathematische Symbole adoptiert, die bereits in Umlauf waren, und außerdem echte Gleichungen aufgestellt (Diophantos hatte, erinnern wir uns, kein Gleichheitssymbol). Und jetzt kommt‘s: Für die Werte von Konstanten hat Viète die lateinischen Konsonanten verwendet, während Variablen mit Vokalen repräsentiert wurden. Da Viète aber kein Potenzsymbol besaß, schrieb er "A cubum" oder "A quadratum", wenn er "A^3" bzw. "A^2" meinte.

Mit dieser Innovation, meinte Viète, könne er statt nur mit Zahlen ("logistica numerosa") nun mit Symbolen operieren ("logistica speciosa"), was ja die Grundlage der Algebra ist. Liest man allerdings die "Isagoge" wird man das Werk nicht wirklich als sehr modern empfinden. Die Argumentation ist meistens rhetorisch und die Symbole erscheinen nur da, wo sie ab und zu benötigt werden, ohne lange symbolische Ketten von algebraischen Transformationen aufzustellen. Aber der Anfang war gemacht.

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imaginary2008
Namen für Punktwolken

Eine interaktive Ausstellung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach für das Jahr der Mathematik 2008. Präsentiert werden Visualisierungen, interaktive Installationen, virtuelle Welten, 3D-Objekte und ihre theoretischen Hintergründe aus der algebraischen Geometrie und Singularitätentheorie. Die abstrakte Mathematik wird zu Bildern, "imaginär" wird zu "image". Virtuelle Welten machen Mathematik zu beeinflussbarer Kunst und zu verstehbarer Wissenschaft. Ein einzigartiges Erlebnis für alle!

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In verschiedenen Galerien präsentieren wir Ihnen unglaublich schöne Bilder, die oft ganz einfachen Formeln gehorchen. Erklärungstafeln zu den Bildern geben Hinweise auf Ursprung und Bedeutung der Bilder und deuten einige mathematische Zusammenhänge an.
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Die Idee von "IMAGINARY" ist - wie der Name schon vermuten lässt - die visuelle und ästhetische Komponente der Mathematik als Blickfang zu verwenden, um den BesucherInnen mathematische Hintergründe auf interaktive Weise zu erklären. Das "Imaginäre", Unvorstellbare der Mathematik wird verbildlicht, es wird zu Bildern ("images"), die auch selbst erzeugt werden können.
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Escher für alle: Von Formeln zu Formen

"Imaginary" ist laut Englischlexikon ein Adjektiv und heißt so viel wie "unwirklich" oder "nur im Geiste vorhanden".
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Im Zentrum der Schau stehen bzw. hängen 25 großformatige Tafeln (wir zählen hier das Eingangsposter mit), auf denen jeweils die Lösungsmengen von Polynom-Gleichungen mit den Variablen x, y und z zu sehen sind. Oder um es unmathematisch zu sagen: hauchzarte farbige Gebilde, die den Raum durchziehen und deren Spitzen, Kanten und Flächen exakten Rechenregeln folgen. Einige von ihnen liegen in einer Vitrine als in Kunststoff fixierte 3D-Körper aus.

Es war die geniale Idee des österreichischen Mathematikers Herwig Hauser, den von ihm ausgedachten Punktwolken Namen zu verleihen. So wird aus den Lösungen von x2+y3+z5=0 ein "Sofa", aus denen von y2+z3=z4+x2z2 ein Herz, und aus dem knappen x2=y2z2 entwickeln sich gar "Himmel und Hölle".

Wem "Dullo", "Daisy", "Diabolo" oder "Dingdong" nicht genügen, kann an einem großen Touchscreen mit eigenen Schöpfungen in die Annalen der algebraischen Geometrie eingehen.
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Körper (W3)

Ein Körper (K,+,*) ist ein Ring mit Einselement, in dem die von Null verschiedenen Elemente K\{0} bezüglich der Multiplikation eine Gruppe (K\{0},*) bilden. Handelt es sich hierbei sogar um eine kommutative Gruppe, so spricht man von einem kommutativen Körper. Man nennt dann die entsprechenden Strukturen mit nicht notwendig kommutativer Multiplikation auch Schiefkörper.

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mathekalender.de
Tropische Algebra

4 Tropische Algebra 14

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mathematik
Algebra

Algebra (6 Artikel)

• Lineare Optimierung
• Nullstellen rationaler Polynome raten
• Permutationen
• Polynomdivision
• RSA Verschlüsselung
• Vollständige Induktion

"Ein Inhalt wird dazu in algebraische Formeln eingeschlossen, damit man, indem man die Formel anwendet, nicht hundertmal ein und dasselbe wiederholen muß."
- A. I. Herzen, 0

"Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about."
- Philippe Shnoebelen, 0

"Die Algebra ist großzügig - oft gibt sie mehr, als wonach man gefragt hat."
- Jean Le Rond d'Alembert, 0

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matheraetsel
Algebra - Aufgabensammlung

Aufgabensammlung zur Algebra

• " Lösung linearer Gleichungssysteme,
• " Nullstellenbestimmung von Polynomen,
• " kombinatorische Textaufgaben,
• " rekursive Gleichungssysteme,
• " ZIP Archiv mit allen Aufgaben und Lösungen: algebra.zip

Titel

• Einstellungstest bei IBM
• Auf der Brücke
• Am Zug
• Marrys Geburtstag
• Kaffee contra Tee
• Der Scheich und seine 100 Töchter
• Ankunft in Lestär
• Eisessen in Lästär
• Das Dreieck "von denen"
• 400 m Staffellauf
• Die Reise zum Styx
• Wie Henner Hessenschnurzi sein Liebstes fand
• Wie ahl is Dr. Druli?
• Jans Kalkuhlation
• Von Schafen, Wölfen und Schlangen
• Logikrätsel
• Wie alt ist's Zabinchen heute?
• Milchverteilung
• Würfelsäulen

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Pascalsches Dreieck
Pascal-Dreieck (W3)

Muster im Pascalschen Dreieck

Im Pascalschen Dreieck (Blaise Pascal) ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen, die links und rechts oberhalb von ihr stehen. Oben geht es mit einer 1 los; und so entsteht die Zahlenfolge, die man links sieht. Nach unten könnte es prinzipiell unendlich weitergehen. Hier kann man schauen, welche Zahl an einer bestimmten Stelle steht:
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Was das Pascalsche Dreieck so erstaunlich macht:
Die n-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von (a + b)^n auftreten, wobei mit n = 0 zu zählen begonnen wird:
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Das Pascalsche Dreieck

Das kann beliebig weiter getrieben werden, allerdings mit ständig wachsendem Rechenaufwand. Nun stellt sich heraus, daß all diese Identitäten, auch höhere, auf andere Weise viel einfacher gefunden werden können. Die Terme, um die es hier geht, sind Polynome in zwei Variablen, a und b, und die Zahlen, die auf den rechten Seiten auftreten, sind deren Koeffizienten. Die Koeffizienten zu verschiedenen Potenzen hängen nun auf verblüffende Weise zusammen. Sie können in ein Zahlenschema geschrieben werden, das den Namen Pascalsches Dreieck trägt.

Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Besprechung dieses Verfahrens aufrufen.

Faktorielle und die Binomialkoeffizienten
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Elementare Algebra
Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck 23.11.2002 - 25.3.2007

Dieses Java-Applet berechnet Binomialkoeffizienten ("n über k" oder "k aus n") für n = 0, 1, 2, . . ., 10000 und k = 0, 1, 2, . . ., n. Man beachte, dass jede Eingabe mit der "Enter"-Taste abgeschlossen werden muss!

Im Pascalschen Dreieck werden die Binomialkoeffizienten so angeordnet, dass Werte mit gleichem n in derselben Zeile stehen. Hier sind die ersten 21 Zeilen (n = 0 bis n = 20) dargestellt.
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17.3 Binomischer Lehrsatz und Pascalsches Dreieck
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Schreibt man die Koeffizienten von (a + b)n zeilenweise, d. h. die von (a + b)n in Zeile n, erhält man das Pascalsche Dreieck. n über k ist daher die k-te Zahl in der n-ten Reihe dieses Zahlendreiecks.
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Eine weitere Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die sich am pascalschen Dreieck ablesen lässt, ist die folgende:
Summe (i=1 bis n-1) von (i über k) = (n über k+1)

Das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten . Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist.
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Geschichte

Die früheste detaillierte Darstellung eines Dreiecks von Binomialkoeffizienten erschien im 10. Jahrhundert in Kommentaren zur Chandas Shastra, einem indischen Buch zur Prosodie des Sanskrit, das von Pingala zwischen dem fünften und zweiten Jahrhundert vor Christus geschrieben wurde.
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Peter Apian veröffentlichte das Dreieck 1531/32 auf dem Titelbild seines Buchs über Handelsberechnungen, dessen frühere Version von 1527 den ersten schriftlichen Nachweis des pascalschen Dreiecks in Europa darstellt.

1655 schrieb Blaise Pascal das Buch „Traité du triangle arithmétique“ (Abhandlung über das arithmetische Dreieck), in dem er verschiedene Ergebnisse bezüglich des Dreiecks sammelte und diese dazu verwendete, Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen. Das Dreieck wurde später von Pierre Raymond de Montmort (1708) und Abraham de Moivre (1730) nach Pascal benannt.
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raikas.net
Quadratische Gleichungen bei al-Khwarizmi

Vorspann:

Wir lösen heute quadratische Gleichungen im Prinzip genauso wie der arabische Mathematiker al-Khwarizmi es bereits vor mehr als 1000 Jahren getan hat. Sein Lösungsverfahren, welches er geometrisch begründete, unterscheidet sich von unserem eigentlich nur durch eine ungewohnte sprachliche Darstellungsweise. Al-Khwarizmis originale Erläuterungen sind durchaus zugänglich, so daß es möglich ist, seine Denkweisen an authentischen Texten nachzuvollziehen.

Interessant sind insbesondere die geometrischen Begründungen, die al-Khwarizmi angibt - sie führen zu einem tieferen Verständnis des algebraischen Lösungsverfahrens für quadratische Gleichungen.

Der folgende Text beschreibt al-Khwarizmis Lösungsverfahren - es ist eine abgewandelte Version meines Artikels in mathematik lehren 91, S. 14-18 (Friedrich Verlag, Velber, 1998).

Alle Zitate entstammen dem Buch The Algebra of Mohammed Ben Musa von Frederic Rosen (Olms, Hildesheim, 1986). Gleiches gilt für die Abbildungen 1 und 3. Quelle der Abbildung 2 ist die sowjetische Post (??? ???, 1983).
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Mit dem "Buch der Addition und Subtraktion für die indische Rechenmethode" veröffentlichte er das erste Buch, in dem das Rechnen mit den indischen Zahlzeichen erläutert wurde. Dieses Werk heißt im Original" Al-kitab al-gam' wa'l-tafriq bi hisab al-hind" und kam über Spanien, welches damals zum arabischen Reich gehörte, nach Europa. Dort wurde es unter dem Titel "Algorismi de numero indorum" übersetzt. Der Name "al-Khwarizmi" wurde in "Algorismi" verändert, und aus "Algorismi" entstand der heutige Begriff "Algorithmus".

Zu jener Zeit schrieb al-Khwarizmi auf Wunsch von al-Ma'mum auch sein Werk "Ein kurzgefaßtes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen" (im Original: "Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa'l-muqabala". Aus dem arabischen Wort für "Ergänzen" "al-gabr" entstand der heutige Begriff "Algebra").
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Ring (W3)

Ein Ring ist ein Halbring (R,+,*), für den über (1) hinaus sogar gilt

(1') (R,+) ist kommutative(!) Gruppe.

Das neutrale Element der Gruppe (R,+) wird üblicherweise mit 0 bezeichnet und wie bei beliebigen Halbringen Null genannt.

Ist für einen Ring auch die Multiplikation kommutativ, so nennt man ihn einen kommutativen Ring.

Ein Ring mit Einselement (R,+,*) ist ein Ring, für den (R,*) Monoid mit dem neutralen Element 1 ist und in dem 0 /= 1 gilt. Hierdurch wird der einelementige (Halb-)Ring also explizit ausgeschlossen.

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Sequenz (W3)

• Arithmetische Folge: a(n) = a(1) + (n-1)*d
• Geometrische Folge: a(n) = a(1) * q^(n-1)

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Diese werden manchmal "Hollywood-Sequenzen" genannt, oft auch nur "Vorkapich" - an den Cutter "Slavko Vorkapich" (1892-1976) erinnernd, der für seine Montagen berühmt war.
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Referenzen: Makrosequenz; sequentielle Analyse; Sequenz und Szene; Syntagmatik (des Films); photosequenz; Summary

25.11.2009
Mathematik
Gentzens Sequenzen
Gerhard Gentzen gilt als größter Beweistheoretiker nach Kurt Gödel. Sein Leben vereint dramatisch die Widersprüche seiner Zeit. Am Dienstag wäre er 100 Jahre alt geworden.
Von Marc Dressler
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Schließen in Sequenzen
Gentzens Ansatz, mit dem er die Unvollständigkeit überlistete, ist so originell wie aktuell. Dem Programm Hilberts folgend, formalisierte er das natürliche Schließen in sogenannten Sequenzen. Eine Sequenz besteht aus Folgen von Aussagen, wobei die nachfolgenden Aussagen sich aus den ihnen vorausgehenden ableiten. Will man herausfinden, ob eine Sequenz wahr ist, verkürzt oder verlängert man sie gemäß den Regeln des Kalküls, bis eine Folge von nacheinander beweisbaren Aussagen dasteht. So gelangt man letztlich zu Formeln, von deren Richtigkeit man sich durch elementares Ausrechnen überzeugen kann.
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Sequenzen im Computer
Überlebt hat sein Kalkül. Von Gentzens Sequenzen machen die Informatiker heute regen Gebrauch. An der Tafel mag ein Beweis, niedergeschrieben in einer einzigen Sequenz, unanschaulich sein, im Rechner aber verschwinden die Zahlenkolonnen. Dass die Sequenz sehr lang sein kann, ist einem modernen Computer egal. Vielmehr hat eine Sequenz den Vorteil, dass zu einem vollständigen Beweis nicht erst alle Voraussetzungen zusammengeklaubt werden müssen: In einer Sequenz steckt alles drin. Sogenannte Verifizierungsprogramme beweisen mit Hilfe von Sequenzen, dass eine Software keine Fehler macht, indem sie die von der Software erzeugten Sequenzen nach vorgegebenen Regeln verlängern oder verkürzen, bis eine einfache Ja/Nein-Entscheidung möglich ist.

Gentzens eigentliches Ziel, die Widerspruchsfreiheit der Analysis zu beweisen, hat bis heute niemand erreicht, trotz weiterer Anläufe in den 1950er Jahren. Die meisten Mathematiker glauben aber, dass es um die Analysis bestens steht, solange niemand einen Widerspruch nachweist. Es gibt eben noch schlimmere Bedrohungen für die Mathematik als mengentheoretische Paradoxien. Gentzens Leben ist ein Beispiel dafür.

Abfolge ·Aufeinanderfolge ·Folge ·Rangfolge ·Reihe ·Reihenfolge ·Sequenz ·Serie

Kirchensprache: "Sequenz"

Exakte Sequenz
Der Begriff der exakten Sequenz spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen.
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Singularität (W3)

I produced the picture on the left using my tool surfex. It shows the surface of degree 7 with 99 singularities which I constructed in 2004.

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Der kollabierte Stern fällt aber unweigerlich weiter zusammen und endet mit einer Singularität.
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Wann kommt die Singularität?
29. März 2009
Oder ist die technologische Entwicklung, die wir nicht mehr kontrollieren können, längst am Laufen?
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Eine interaktive Ausstellung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach für das Jahr der Mathematik 2008. Präsentiert werden Visualisierungen, interaktive Installationen, virtuelle Welten, 3D-Objekte und ihre theoretischen Hintergründe aus der algebraischen Geometrie und Singularitätentheorie. Die abstrakte Mathematik wird zu Bildern, "imaginär" wird zu "image". Virtuelle Welten machen Mathematik zu beeinflussbarer Kunst und zu verstehbarer Wissenschaft. Ein einzigartiges Erlebnis für alle!

Die Auflösung von Singularitäten
Ein jeder kann sich unter dem Begriff Fläche etwas vorstellen: Die Kugeloberfläche, der Spiegel des Meeres oder eines Sees, eine Schneefläche, die Seitenfl¨ache eines Würfels, der Mantel eines Kegels. Gemeinsam ist allen ihre zweidimensionale Ausbreitung in einem umgebenden dreidimensionalen Raum. Eine kleine Ameise, die auf der Fläche krabbelt, kann sich auf ihr nach vorne, hinten und seitlich bewegen. Sie kann aber nicht von der Fläche in die Höhe springen (im Gegensatz etwa zur Spezies Floh)...
Autor: Herwig Hauser, Universität Wien
Kurzbeschreibung: eine spannend lustige Einführung in die Singularitätentheorie
Artikel herunterladen (PDF 140KB)

Weltrekord-Flächen - Algebraische Flächen mit vielen Singularitäten
Algebraische Flächen können glatt sein oder auch einige Spitzen (sogenannte isolierte Singularitäten) haben. Beschränkt man sich auf Flächen mit gewissen Eigenschaften, z.B. auf Flächen mit einem festen sogenannten Grad, so konnte man bereits im 19. Jahrhundert beweisen, dass jede solche Fläche nur endlich viele isolierte Singularitäten haben kann. Unmittelbar stellt sich die Frage: Wie viele?
Autor: Oliver Labs, Universität des Saarlandes
Kurzbeschreibung: eine ansprechende, mathematische Einführung zu Flächen mit Singularitäten auf Abitur-Niveau
Artikel herunterladen (PDF 1.3 MB)

Singularität

Singularität einer reellen (oder komplexen) Funktion f wird eine Stelle genannt, an der f nicht wohldefiniert ist, etwa weil es sich um eine Definitionslücke oder um eine Unendlichkeitsstelle handelt. Es gibt aber auch andere Formen von Singularitäten, wie beispielsweise die Stelle x = 0 der Funktion sin(1/x).

Nodal Surfaces
A large part of my work is connected to (hyper-)surfaces with many singularities. The main question in this subject is: What is the maximum number µ(d) of isolated singularities on a surface of degree d in projective three-space?

The Gallery

• d=2
• d=3
• d=4
• d=5
• d=6
• d=7
• d=8
• d=9
• d=10
• d=11
• d=12

Physik-Lexikon: Singularitäten

Singularität, eine Stelle, an der ein kontinuierlicher Zustand einen plötzlichen 'Sprung' aufweist oder einen unendlichen bzw. nicht mehr beschreibbaren Wert annimmt.
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Singularitäten einer komplexen Funktion

Wetterlexikon - Singularitäten
Darunter versteht man bestimmte Wettergeschehen mit kalendermäßiger Bindung (lat. von singularis = einzeln, einzigartig), also typische Wetterlagen, die im Jahresrhythmus zur fast gleichen Zeit auftreten.
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Die Hundstage gehen bis auf das alte Ägypten im 3. Jahrtausend v. Chr. zurück und bezeichneten dort die "Rückkehr" des Fixsterns "Sirius", Hauptstern im Sternbild "Großer Hund", an den Morgenhimmel. Sie sind daher ursprünglich keine meteorologische "Singularität", sondern ein astronomisches Ereignis. Nachdem Sirius zuvor wochenlang unsichtbar mit der Sonne am Tageshimmel stand, konnte er an den Ufern des Nils gegen Ende der ersten Julidekade erstmals in der sich erhebenden Morgendämmerung wieder erspäht werden. Das gleiche Ereignis wurde später von den Griechen als "heliakischer Aufgang" bezeichnet, was so viel wie "mit der Sonne" bedeutet.

Die Wiederkehr des Sirius galt entlang des Nils als sicheres Vorzeichen der nahenden alljährlichen Sommer-Nilschwemme, die Schlamm und damit Fruchtbarkeit und Segen über die Felder entlang des Flusses brachte. Diese Tausende von Kilometern weiter stromauf durch die zentralafrikanische Regenzeit verursachte erste Hochwasserwelle des Jahres rollte stets in der zweiten Julihälfte, zur Zeit der größten Sommerhitze, den Fluss hinab und ergoss sich schließlich ins Mittelmeer. Durch das Zusammenspiel von Sonnenhöchststand und Regenzeit im Quellgebiet des Stroms mit dem scheinbaren Lauf des Sirius am Sternenhimmel hat die Benennung "Hundstage" im entfernteren Sinn also durchaus etwas mit dem Wetter zu tun, genauer gesagt mit den Folgen des Wetters.

Die Römer sahen die Wiederkehr des Sirius übrigens erst deutlich später, nämlich in der letzten Julidekade; von den Römern stammt auch die noch heute gültige Festlegung des Beginns der Hundstage am 23. Juli.
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skriptweb.de
Mathematik-Skripte - Analysis - Algebra

Analysis 1 - Mitschrift der Vorlesung "Mathematik für Physiker 1" von Prof. Peter Vogl, an der TU München im Wintersemester 1999/2000 und Sommersemester 2000 (ohne den Abschnitt "Lineare Algebra" am Ende des 1. Semesters), nach dem Buch "Analysis 1" von Prof. Königsberger, Springer Verlag (ISBN 3-540-66153-0)

Analysis 2 - Mitschrift der Vorlesung "Mathematik für Physiker 2" von Prof. Peter Vogl, an der TU München im Sommersemester 2000, nach dem Buch "Analysis 2" von Prof. Königsberger, Springer Verlag (ISBN 3-540-62871-1)

Analysis 3 - Mitschrift der Vorlesung "Höhere Mathematik 3 für Physiker" von Prof. Klaus Buchner, an der TU München im Wintersemester 2000/2001.

Analysis 4 - Mitschrift der Vorlesung "Höhere Mathematik 4 für Physiker" von Prof. Klaus Buchner, an der TU München im Wintersemester 2000/2001.

Jordan-Normalform (Analysis 4) - Inhalt von drei Vorlesungen von Dr. Peter Giesl über die Jordan-Normalform im Rahmen der Vorlesung Höhere Mathematik 4 von Prof. Klaus Buchner.

Lineare Algebra 1 - Mitschrift des Abschnitts "Lineare Algebra" der Vorlesung "Mathematik für Physiker" von Prof. Peter Vogl, an der TU München im Wintersemester 1999/2000, nach dem Buch "Höhere Mathematik 1" von Meyberg/Vachenauer, Springer Verlag (ISBN 3-540-53190-4)

Lineare Algebra 2 - Mitschrift der Vorlesung "Mathematik für Physiker - Lineare Algebra" von Prof. Harald Friedrich, an der TU München im Sommersemester 2000, nach dem Buch "Höhere Mathematik 1" von Meyberg/Vachenauer, Springer Verlag (ISBN 3-540-53190-4). Diese Mitschrift ist leider sehr lückenhaft.

Zusammenfassungen

Analysis 1 - Zusammenfassung einiger Kapitel aus dem Analysis 1-Skript.

Lineare Algebra - Zusammenfassung des Stoffs der Vorlesung "Mathematik für Physiker - Lineare Algebra", erstellt aus der Vorlesungsmitschrift und mit Hilfe des Buchs "Höhere Mathematik 1". Da die Übungen zu dieser Vorlesung in Englisch gehalten wurden, ist im Anhang eine Liste von Vokabeln, die während der Übungen auftauchten, beigefügt.

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TU Freiberg
Klassische Algebra

Willkommen zur Freiberger Web-Vorlesung über Klassische Algebra

Während in der Linearen Algebra hauptsächlich Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen untersucht werden, die letzteren oft in der Gestalt von Matrizen, beschäftigt man sich in der Klassischen Algebra vor allem mit solchen algebraischen Strukturen, die dem Vektorraumbegriff und dem Matrizenkalkül zugrunde liegen.

Dies sind vornehmlich die "klassischen" Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper. Sie haben sich in vielen Gebieten der Mathematik als nützlich erwiesen und verdienen deshalb eine eingehende Untersuchung. In der "moderneren Algebra" sind auch Strukturen nicht mehr wegzudenken, bei denen zu den üblichen Verknüpfungen wie Addition und Multiplikation noch partielle Ordnungen hinzukommen. Diese werden im Umfeld der Verbandstheorie eingehender untersucht.

Bei der Beschäftigung mit einzelnen dieser Strukturen stellte es sich heraus, daß man immer wieder auf Resultate stieß, die sich für die unterschiedlichen Strukturen in ganz analoger Weise formulieren ließen. Dies führte zur Entstehung der Universellen Algebra, in der im Prinzip Gemeinsamkeiten sämtlicher algebraischer Strukturen untersucht werden. Ihren größten Grad an Abstraktheit erreicht diese Vorgehensweise in der Kategorientheorie.

In der jüngsten Zeit erlangten Gebiete der Algorithmischen Algebra große Bedeutung, da sie in Form der Computeralgebra in vielen Anwendungen mathematischer Methoden Eingang fanden.

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Uni Bielefeld
Linear Algebraic Groups and Related Structures

WWW Server: Fakultät für Mathematik, University of Bielefeld, Germany, Ulf Rehmann

Preprint Server

This preprint server is intended to be a forum of the recent development of the theory of "Linear Algebraic Groups over Arbitrary Fields" and its "Related Structures", like Azumaya Algebras, Algebras with Involutions, Brauer Groups, Quadratic and Hermitean Forms, Witt Rings, Lie and Jordan Algebras, Homogeneous Varieties.
Some related manuscripts are to be found on K-theory Preprint Archives and Homology, Homotopy and Applications

The Preprints:

• 439. Bruno Kahn: Algebraic tori as Nisnevich sheaves with transfers (16 p.)
• (2011, Jul 25) Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 61 k, ps.gz 796 k, pdf.gz 162 k, pdf 183 k



• 438. Sanghoon Baek, Erhard Neher, Kirill Zainoulline: Basic polynomial invariants, fundamental representations and the Chern class map (13 p.)
• (2011, Jun 30) Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 67 k, ps.gz 945 k, pdf.gz 164 k, pdf 188 k



• 437. Nikita A. Karpenko: Incompressibility of orthogonal grassmannians (5 p.)
• (2011, Jun 30) Abstract 1 k, dvi.gz 14 k, dvi 31 k, ps.gz 782 k, pdf.gz 99 k, pdf 119 k



• 436. V. Chernousov, M-A. Knus, J-P. Tignol: Conjugacy classes of trialitarian automorphisms and symmetric compositions (23 p.)
• (2011, Jun 25) Abstract 1 k, dvi.gz 46 k, dvi 117 k, ps.gz 1056 k, pdf.gz 229 k, pdf 258 k



• 435. Andrew Dolphin: Metabolic Involutions and quadratic radical extensions (15 p.)
• (2011, Jun 24) Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 77 k, ps.gz 574 k, pdf.gz 163 k, pdf 180 k



• 434. Karim Johannes Becher and David B. Leep: Real fields, valuations, and quadratic forms (18 p.)
• (2011, Jun 16) Abstract 1 k, dvi.gz 42 k, dvi 98 k, ps.gz 953 k, pdf.gz 204 k, pdf 228 k



• 433. Stefan Gille and Kirill Zainoulline: Equivariant pretheories and invariants of torsors (22 p.)
• (2011, May 30) Abstract 1 k, dvi.gz 53 k, dvi 126 k, ps.gz 1217 k, pdf.gz 243 k, pdf 277 k



• 432. Grégory Berhuy: Cohomological invariants of central simple algebras of degree $4$ (14 p.)
• (2011, May 16) Abstract 1 k, dvi.gz 31 k, dvi 92 k, ps.gz 911 k, pdf.gz 159 k, pdf 186 k



• 431. Alexey Ananyevskiy: On the algebraic K-theory of some homogeneous varieties. (21 p.)
• (2011, Apr 29) Abstract 1 k, dvi.gz 42 k, dvi 102 k, ps.gz 2105 k, pdf.gz 228 k, pdf 259 k



• 430. Nobuaki Yagita: Witt groups of algebraic groups. (22 p.)
• (2011, Apr 21) Abstract 1 k, dvi.gz 46 k, dvi 131 k, ps.gz 937 k, pdf.gz 228 k, pdf 254 k



• 429. Vladimir Chernousov and Alexander Merkurjev: Essential $p$-dimension of split simple groups of type $A_n$ (8 p.)
• (2011, Apr 15) Abstract 1 k, dvi.gz 19 k, dvi 44 k, ps.gz 958 k, pdf.gz 119 k, pdf 140 k



• 428. A. R. Wadsworth and V. I. Yanchevskii: Unitary SK_1 for a Graded Division Ring and its Quotient Division Ring (17 p.)
• (2011, Apr 10) Abstract 1 k, dvi.gz 49 k, dvi 112 k, ps.gz 1002 k, pdf.gz 209 k, pdf 235 k



• 427. A. Quéguiner-Mathieu, N. Semenov and K. Zainoulline: The J-invariant and the Tits algebras of a linear algebraic group. (27 p.)
• (2011, Apr 8) Abstract 1 k, dvi.gz 70 k, dvi 229 k, ps.gz 1283 k, pdf.gz 314 k, pdf 393 k



• 426. Andrew Dolphin and Detlev W. Hoffmann: Differential forms and bilinear forms under field extensions (21 p.)
• (2011, Apr 1) Abstract 1 k, dvi.gz 52 k, dvi 131 k, ps.gz 1020 k, pdf.gz 246 k, pdf 274 k



• 425. Andrew Dolphin: Decomposition of Algebras with involution in characteristic 2 (14 p.)
• (2011, Mar 20) Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 71 k, ps.gz 605 k, pdf.gz 156 k, pdf 173 k



• 424. Nikita A. Karpenko: Unitary grassmannians (17 p.)
• (2011, Mar 17) Abstract 1 k, dvi.gz 41 k, dvi 99 k, ps.gz 866 k, pdf.gz 199 k, pdf 239 k



• 423. Nikita Karpenko and Maksim Zhykhovich: Isotropy of unitary involutions (20 p.)
• (2011, Mar 15) Abstract 1 k, dvi.gz 51 k, dvi 122 k, ps.gz 965 k, pdf.gz 232 k, pdf 280 k



• 422. Zinovy Reichstein and Angelo Vistoli: A genericity theorem for algebraic stacks and essential dimension of hypersurfaces (25 p.)
• (2011, Mar 8, revised 2011, Mar 19) Abstract 1 k, dvi.gz 61 k, dvi 139 k, ps.gz 451 k, pdf.gz 235 k, pdf 258 k



• 421. Kirill Zainoulline: Twisted gamma-filtration of a linear algebraic group (10 p.)
• (2011, Feb 21) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 57 k, ps.gz 1011 k, pdf.gz 145 k, pdf 168 k



• 420. Authors: Sergey V. Tikhonov, Jan Van Geel and Vyacheslav I. Yanchevskii: The unramified Brauer group and the Pythagoras number of hyperelliptic curves with good reduction defined over henselian valued fields. (11 p.)
• (2011, Jan 30) Abstract 1 k, dvi.gz 26 k, dvi 61 k, ps.gz 868 k, pdf.gz 150 k, pdf 171 k



• 419. Charles De Clercq: Classification of upper motives of algebraic groups of type A_n (6 p.)
• (2011, Jan 25) Abstract 1 k, dvi.gz 13 k, dvi 29 k, ps.gz 544 k, pdf.gz 93 k, pdf 172 k



• 418. Justin Martel: Coincidence in Poincare polynomials of projective homogeneous varieties (9 p.)
• (2011, Jan 18) Abstract 1 k, dvi.gz 17 k, dvi 37 k, ps.gz 763 k, pdf.gz 110 k, pdf 127 k



• 417. J. K. Arason and R. Baeza: On the level of principal ideal domains (6 p.)
• (2011, Jan 10) Abstract 1 k, dvi.gz 10 k, dvi 22 k, ps.gz 432 k, pdf.gz 63 k, pdf 104 k



• 416. A.S. Sivatski: The Chain Lemma for Biquaternion Algebras (5 p.)
• (2010, Dec 26) Abstract 1 k, dvi.gz 10 k, dvi 23 k, ps.gz 705 k, pdf.gz 78 k, pdf 92 k



• 415. A.S. Sivatski: Applications of Conics to Certain Quadratic Forms over the Rational Function Fields (11 p.)
• (2010, Dec 26) Abstract 1 k, dvi.gz 22 k, dvi 57 k, ps.gz 1009 k, pdf.gz 141 k, pdf 163 k



• 414. A. Quéguiner-Mathieu and J.-P. Tignol: Cohomological invariants for orthogonal involutions on degree 8 algebras (19 p.)
• (2010, Dec 17) Abstract 1 k, dvi.gz 41 k, dvi 104 k, ps.gz 783 k, pdf.gz 203 k, pdf 225 k



• 413. James O'Shea: Sums of squares in certain quaternion and octonion algebras (5 p.)
• (2010, Dec 7) Abstract 1 k, dvi.gz 12 k, dvi 29 k, ps.gz 597 k, pdf.gz 83 k, pdf 96 k



• 412. Karim Johannes Becher, Pawel Gladki: Symbol Length and Stability Index (6 p.)
• (2010, Dec 9) Abstract 1 k, dvi.gz 15 k, dvi 31 k, ps.gz 888 k, pdf.gz 107 k, pdf 125 k



• 411. Ulf Rehmann, Sergey V. Tikhonov, and Vyacheslav I. Yanchevskii: Prescribed behavior of central simple algebras after scalar extension (15 p.)
• (2010, Dec 7) Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 76 k, ps.gz 1013 k, pdf.gz 170 k, pdf 196 k



• 410. Mélanie Raczek: On the 3-Pfister number of quadratic forms (14 p.)
• (2010, Nov 23) Abstract 1 k, dvi.gz 37 k, dvi 102 k, ps.gz 960 k, pdf.gz 177 k, pdf 200 k



• 409. Nikita A. Karpenko: Incompressibility of generic orthogonal grassmannians (7 p.)
• (2010, Nov 23) Abstract 1 k, dvi.gz 16 k, dvi 39 k, ps.gz 718 k, pdf.gz 107 k, pdf 128 k



• 408. Ivan Panin and Charles Walter: On the relation of symplectic algebraic cobordism to hermitian K-theory (12 p.)
• (2010, Nov 2) Abstract 1 k, dvi.gz 33 k, dvi 99 k, ps.gz 958 k, pdf.gz 167 k, pdf 280 k



• 407. Ivan Panin and Charles Walter: On the algebraic cobordism spectra MSL and MSp (32 p.)
• (2010, Nov 2) Abstract 1 k, dvi.gz 96 k, dvi 315 k, ps.gz 1414 k, pdf.gz 336 k, pdf 408 k



• 406. Ivan Panin and Charles Walter: On the motivic commutative ring spectrum BO (39 p.)
• (2010, Nov 2) Abstract 1 k, dvi.gz 104 k, dvi 341 k, ps.gz 1181 k, pdf.gz 378 k, pdf 462 k



• 405. Ivan Panin and Charles Walter: Quaternionic Grassmannians and Pontryagin classes in algebraic geometry (43 p.)
• (2010, Nov 2) Abstract 1 k, dvi.gz 130 k, dvi 425 k, ps.gz 1069 k, pdf.gz 422 k, pdf 514 k



• 404. Mark L. MacDonald: Essential p-dimension of the normalizer of a maximal torus (26 p.)
• (2010, Oct 28) Abstract 1 k, dvi.gz 59 k, dvi 148 k, ps.gz 808 k, pdf.gz 240 k, pdf 266 k



• 403. Roland Lötscher: Essential dimension of involutions and subalgebras (13 p.)
• (2010, Oct 19) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 68 k, ps.gz 902 k, pdf.gz 165 k, pdf 187 k



• 402. Andrew Dolphin: Metabolic Involutions (16 p.)
• (2010, Oct 8, revised 2011, Jun 24) Abstract 1 k, dvi.gz 33 k, dvi 78 k, ps.gz 582 k, pdf.gz 147 k, pdf 164 k



• 401. Sanghoon Baek: Essential dimension of simple algebras with involutions (10 p.)
• (2010, Oct 9) Abstract 1 k, dvi.gz 23 k, dvi 55 k, ps.gz 1014 k, pdf.gz 136 k, pdf 167 k



• 400. James O'Shea: Isotropy over function fields of Pfister forms (13 p.)
• (2010 Sep 10) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 75 k, ps.gz 736 k, pdf.gz 152 k, pdf 170 k



• 399. Roland Lötscher, Mark MacDonald, Aurel Meyer and Zinovy Reichstein: Essential dimension of algebraic tori (12 p.)
• (2010, Aug 17) Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 81 k, ps.gz 836 k, pdf.gz 142 k, pdf 176 k



• 398. R. Parimala, J.-P. Tignol, R.M. Weiss: The Kneser-Tits conjecture for groups with Tits-index E_{8,2}^{66} over an arbitrary field. (20 p.)
• (2010, Aug 11) Abstract 1 k, dvi.gz 47 k, dvi 107 k, ps.gz 1040 k, pdf.gz 227 k, pdf 255 k



• 397. Nikita A. Karpenko: Hyperbolicity of unitary involutions (10 p.)
• (2010, Jul 30) Abstract 1 k, dvi.gz 26 k, dvi 61 k, ps.gz 682 k, pdf.gz 145 k, pdf 178 k



• 396. Skip Garibaldi and Kirill Zainoulline: The gamma-filtration and the Rost invariant (19 p.)
• (2010 Jul 21, revised 2010 Dec 28) Abstract 1 k, dvi.gz 31 k, dvi 67 k, ps.gz 997 k, pdf.gz 177 k, pdf 201 k



• 395. Helmut Behr: S-arithmetic groups over function fields: Cohomology and finiteness properties (13 p.)
• (2010, Jun 28) Abstract 1 k, dvi.gz 27 k, dvi 62 k, ps.gz 595 k, pdf.gz 130 k, pdf 148 k



• 394. Ahmed Laghribi: Isotropie d'une forme bilinéaire d'Albert sur le corps de fonctions d'une quadrique en caractéristique 2 (11 p.)
• (2010, Jun 27) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 60 k, ps.gz 513 k, pdf.gz 90 k, pdf 104 k



• 393. Zinovy Reichstein: Essential dimension (26 p.)
• (2010, Jun 8) Abstract 1 k, dvi.gz 57 k, dvi 121 k, ps.gz 826 k, pdf.gz 236 k, pdf 263 k



• 392. M. G. Mahmoudi: Orthogonal symmetries and Clifford algebras (22 p.)
• (2010, Jun 3) Abstract 1 k, dvi.gz 50 k, dvi 150 k, ps.gz 632 k, pdf.gz 210 k, pdf 231 k



• 391. Wanshun Wong: On the Essential Dimension of Cyclic Groups (9 p.)
• (2010, May 24) Abstract 1 k, dvi.gz 20 k, dvi 47 k, ps.gz 905 k, pdf.gz 124 k, pdf 144 k



• 390. Skip Garibaldi: Outer automorphisms of algebraic groups and determining groups by their maximal tori (9 p.)
• (2010, May 22, revised 2011, Feb 4, former title: Weak commensurability and forms of Spin_4n ) Abstract 1 k, dvi.gz 25 k, dvi 51 k, ps.gz 856 k, pdf.gz 140 k, pdf 163 k



• 389. Feng Chen: Indecomposable and Noncrossed Product Division Algebras over Curves over Complete Discrete Valuation Rings (13 p.)
• (2010, Apr 22) Abstract 1 k, dvi.gz 35 k, dvi 83 k, ps.gz 693 k, pdf.gz 159 k, pdf 246 k



• 388. Charles De Clercq: Motivic decompositions of projective homogeneous varieties and change of coefficients (4 p.)
• (2010, Apr 22, revised 2010, Sep 3)) Abstract 1 k, dvi.gz 12 k, dvi 26 k, ps.gz 923 k, pdf.gz 107 k, pdf 124 k



• 387. M.Kameko, M.Tezuka and N.Yagita: Coniveau spectral sequences of classifying spaces for exceptional and Spin groups (29 p.)
• (2010, Apr 22) Abstract 1 k, dvi.gz 43 k, dvi 124 k, ps.gz 950 k, pdf.gz 236 k, pdf 265 k



• 386. M.Tezuka and N.Yagita: Note on the cohomological invariant of Pfister forms (7 p.)
• (2010, Apr 22) Abstract 1 k, dvi.gz 11 k, dvi 26 k, ps.gz 818 k, pdf.gz 95 k, pdf 112 k



• 385. Anthony Ruozzi: Essential p-dimension of PGL (8 p.)
• (2010, Apr 20) Abstract 1 k, dvi.gz 14 k, dvi 29 k, ps.gz 193 k, pdf.gz 74 k, pdf 86 k



• 384. Baptiste Calmes, Victor Petrov, Kirill Zainoulline: Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags (36 p.)
• (2010, Apr 7) Abstract 1 k, dvi.gz 89 k, dvi 237 k, ps.gz 1376 k, pdf.gz 387 k, pdf 490 k



• 383. Tim Wouters: Comparing invariants of SK1 (26 p.)
• (2010, Mar 8, revised 2010, Mar 18) Abstract 1 k, dvi.gz 77 k, dvi 248 k, ps.gz 901 k, pdf.gz 313 k, pdf 394 k



• 382. S. Baek and A. Merkurjev: Essential dimension of central simple algebras (23 p.)
• (2010, Mar 4) Abstract 1 k, dvi.gz 56 k, dvi 134 k, ps.gz 985 k, pdf.gz 254 k, pdf 307 k



• 381. Vincent Astier and Thomas Unger: Signatures of hermitian forms (25 p.)
• (2010, Mar 4) Abstract 1 k, dvi.gz 52 k, dvi 137 k, ps.gz 340 k, pdf.gz 173 k, pdf 194 k



• 380. Skip Garibaldi and Holger P. Petersson: Wild Pfister forms over Henselian fields, $K$-theory, and conic division algebras (81 p.)
• (2010, Feb 17, published as Journal of Algebra 327 #1 (2011), 386-465) Abstract 1 k, dvi.gz 182 k, dvi 444 k, ps.gz 1015 k, pdf.gz 695 k, pdf 751 k



• 379. Mohamed Abdou Elomary and Jean-Pierre Tignol: Springer's theorem for tame quadratic forms over Henselian fields (14 p.)
• (2010, Feb 5) Abstract 1 k, dvi.gz 33 k, dvi 77 k, ps.gz 729 k, pdf.gz 170 k, pdf 192 k



• 378. S. Pumpluen: Witt groups of hermitian forms over a Brauer Severi variety. (23 p.)
• (2010, Feb 1) Abstract 1 k, dvi.gz 44 k, dvi 117 k, ps.gz 720 k, pdf.gz 216 k, pdf 242 k



• 377. Dajano Tossici and Angelo Vistoli: On the essential dimension of infinitesimal group schemes (10 p.)
• (2010, Jan 22) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 51 k, ps.gz 759 k, pdf.gz 136 k, pdf 156 k



• 376. Alexander Steinmetz-Zikesch: Algèbres de Lie de dimension infinie et théorie de la descente (102 p.)
• (2010, Jan 15) Abstract 1 k, dvi.gz 173 k, dvi 448 k, ps.gz 1500 k, pdf.gz 690 k, pdf 768 k



• 375. Vladimir L. Popov: On the Makar-Limanov, Derksen invariants, and finite automorphism groups of algebraic varieties (23 p.)
• (2010, Jan 8) Abstract 1 k, dvi.gz 45 k, dvi 105 k, ps.gz 762 k, pdf.gz 221 k, pdf 248 k



• 374. Victor Petrov, Anastasia Stavrova: Grothendieck---Serre conjecture for groups of type F_4 with trivial f_3 invariant (6 p.)
• (2010, Jan 6) Abstract 1 k, dvi.gz 17 k, dvi 46 k, ps.gz 677 k, pdf.gz 107 k, pdf 133 k



• 373. Max-Albert Knus, Jean-Pierre Tignol: Thin Severi--Brauer varieties (27 p.)
• (2009, Dec 17) Abstract 1 k, dvi.gz 61 k, dvi 147 k, ps.gz 1018 k, pdf.gz 281 k, pdf 316 k



• 372. Manfred Knebusch: Specialization of Quadratic and Symmetric Bilinear Forms (241 p.)
• (2009, Dec 15) Abstract 1 k, dvi.gz 370 k, dvi 964 k, ps.gz 1276 k, pdf.gz 1457 k, pdf 1590 k



• 371. Nikita A. Karpenko: Isotropy of orthogonal involutions (9 p.)
• (2009, Nov 21) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 54 k, ps.gz 680 k, pdf.gz 138 k, pdf 166 k



• 370. Alexander Merkurjev: Essential dimension of simple algebras (19 p.)
• (2009, Nov 19) Abstract 1 k, dvi.gz 44 k, dvi 105 k, ps.gz 902 k, pdf.gz 208 k, pdf 256 k



• 369. Hazrat, A. R. Wadsworth: Unitary SK1 of graded and valued division algebras, I (26 p.)
• (2009, Nov 18) Abstract 1 k, dvi.gz 93 k, dvi 326 k, ps.gz 959 k, pdf.gz 355 k, pdf 449 k



• 368. Bruno Kahn: Cohomological approaches to SK_1 and SK_2 of central simple algebras (54 p.)
• (2009, Nov 15) Abstract 1 k, dvi.gz 89 k, dvi 215 k, ps.gz 952 k, pdf.gz 392 k, pdf 438 k



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• 356. Daniel Krashen: Field patching, factorization and local-global principles (29 p.)
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• 354. Vladimir Chernousov: Variations on a theme of groups splitting by a quadratic extension and Grothendieck-Serre conjecture for group schemes $F_4$ with trivial $g_3$ invariant (20 p.)
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• 350. Mathieu Florence: Géométrie birationnelle équivariante des grassmanniennes (12 p.)
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• 338. Alexander Vishik: Excellent connections in the motives of quadrics (24 p.)
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• 336. Ivan Panin, Victor Petrov, Anastasia Stavrova: Grothendieck---Serre's conjecture for adjoint groups of types E_6 and E_7 (2 p.)
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• 335. Ivan Panin: On Grothendieck---Serre's conjecture concerning principal G-bundles over reductive group schemes: II (33 p.)
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• 334. Ivan Panin, Anastasia Stavrova, Nikolai Vavilov: On Grothendieck---Serre's conjecture concerning principal G-bundles over reductive group schemes: I (28 p.)
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• 333. Nikita A. Karpenko: Upper motives of algebraic groups and incompressibility of Severi-Brauer varieties (18 p.)
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• 330. Nikita A. Karpenko: Hyperbolicity of orthogonal involutions (16 p.)
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• 329. Replaced by LAG Preprint 333



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• 290. Mark Blunk: del Pezzo surfaces of degree 6 over an arbitrary field (24 p.)
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• 286. Alexander Sivatski: The Witt ring kernel for a fourth degree field extension (6 p.)
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• 282. R. Hazrat: SK1 of Azumaya algebras over Hensel Pairs (5 p.)
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• 281. Ahmed Laghribi: Jacobson's theorem for bilinear forms in characteristic 2 (6 p.)
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• 280. Patrick Brosnan and Ramesh Sreekantan: Essential dimension of abelian varieties over number fields (4 p.)
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• 279. B. Margaux: Passage to the limit in non-abelian Cech cohomology (6 p.)
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• 278. Nikita A. Karpenko and Alexander S. Merkurjev: Essential dimension of finite p-groups (17 p.)
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• 276. James O'Shea and Jan Van Geel: Levels and sublevels of composition algebras over p-adic function fields (13 p.)
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• 274. V. Chernousov, P. Gille and Z. Reichstein: Reduction of structure for torsors over semilocal rings (16 p.)
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• 273. Olivier Haution: Lifting of coefficients for Chow motives of quadrics (8 p.)
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• 272. Eva Bayer-Fluckiger: Multiples of trace forms and algebras with involution (13 p.)
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• 271. Nicolas Grenier-Boley, Emmanuel Lequeu, Mohammad Mahmoudi: On hermitian Pfister forms (16 p.)
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• 270. Vladimir Chernousov, Lucy Lifschitz, and Dave Witte Morris: Almost-minimal nonuniform lattices of higher rank (23 p.)
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• 268. Mark MacDonald: Cohomological invariants of odd degree Jordan algebras (12 p.)
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• 267. Kirill Zainoulline: Special correspondences and Chow traces of Landweber-Novikov operations (10 p.)
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• 266. Vincent Astier and Thomas Unger: A hermitian analogue of the Bröcker--Prestel theorem (12 p.)
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• 265. Amit Kulshrestha: Strongly anisotropic involutions on central simple algebras (21 p.)
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• 263. Nikita A. Karpenko and Alexander S. Merkurjev: Essential dimension of finite groups (14 p.)
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• (2007, Jun 20, revised: 2007, Oct 18) Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 75 k, ps.gz 590 k, pdf.gz 151 k, pdf 172 k



• 261. Karim Mounirh: Kummer subfields of tame division algebras over Henselian valued fields (18 p.)
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• 260. R. Hazrat, A. R. Wadsworth: On maximal subgrops of the multiplicative group of a division algebra (18 p.)
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• 259. Ivan Panin, Konstantin Pimenov, Oliver Roendigs: On the relation of Voevodsky's algebraic cobordism to Quillen's $K$-theory (17 p.)
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• 258. Ivan Panin, Konstantin Pimenov, Oliver Roendigs: A universality theorem for Voevodsky's algebraic cobordism spectrum (13 p.)
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• 257. Alexander Nenashev: Projective push-forwards in the Witt theory of algebraic varieties (19 p.)
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• 255. Alexander Sivatski: On the Faddeev index of an algebra over the function field of a curve (10 p.)
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• 254. Daniel Krashen: Corestrictions of algebras and splitting fields (13 p.)
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• 251. Ivan Panin, Konstantin Pimenov, Oliver Roendigs: On Voevodsky's algebraic K-theory spectrum BGL (47 p.)
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• 250. Alexander Sivatski: Nonexcellence of certain field extensions (10 p.)
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• 238. Patrick Brosnan, Zinovy Reichstein, Angelo Vistoli: Essential dimension and algebraic stacks (52 p.)
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• 234. Mathieu Florence: On the essential dimension of cyclic $p$-groups (7 p.)
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• 227. Karim Becher and Detlev Hoffmann: On isotropy of quadratic spaces in finite and infinite dimension (37 p.)
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• 226. Skip Garibaldi and Anne Queguiner-Mathieu: Restricting the Rost invariant to the center (18 p.)
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• 225. Burt Totaro: Birational geometry of quadrics in characteristic 2 (15 p.)
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• 223. Victor Petrov, Nikita Semenov, Kirill Zainoulline: Chow motives of generically split varieties (25 p.)
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• 220. José Fernando, Jesús Ruiz, Claus Scheiderer: Sums of squares of linear forms (9 p.)
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• 219. Jean-François Renard, Jean-Pierre Tignol, Adrian Wadsworth: Graded Hermitian forms and Springer's theorem (29 p.)
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• 217. Karim Johannes Becher: Virtual Forms (26 p.)
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• 216. Mathieu Florence: A short proof of Klyachko's theorem about rational algebraic tori (6 p.)
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• 215. Ekaterina Sopkina: Classification of all connected subgroup schemes of a reductive group containing a split maximal torus (17 p.)
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• 214. E. Aljadeff, J. Sonn, and A. Wadsworth: Projective Schur groups of Henselian fields (29 p.)
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• 213. D. Kiani, M. Mahdavi-Hezavehi: Tits Alternative for Maximal Subgroups of Skew Linear Groups (13 p.)
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• 212. Nicolas Grenier-Boley: On the triviality of certain Whitehead groups (13 p.)
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• 211. -- Withdrawn by author --



• 210. Skip Garibaldi: Kneser-Tits for a rank 1 form of E6 (after Veldkamp) (9 p.)
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• 209. Skip Garibaldi, Holger P. Petersson: Groups of outer type E6 with trivial Tits algebras (30 p.)
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• Abstract 1 k, dvi.gz 56 k, dvi 133 k, ps.gz 776 k, pdf.gz 234 k, pdf 275 k



• 208. Giordano Favi, Mathieu Florence: Tori and essential dimension (13 p.)
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• 207. V. Chernousov, A. Merkurjev: Connectedness of classes of fields and zero cycles on projective homogeneous varieties (32 p.)
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• 206. Ivo Dell'Ambrogio and Jean Fasel: The Witt groups of the spheres away from two (13 p.)
• (2006, Feb 13, revised: 2006, May 29) Abstract 1 k, dvi.gz 20 k, dvi 49 k, ps.gz 605 k, pdf.gz 101 k, pdf 124 k



• 205. R. Hazrat, A. Wadsworth: Nontriviality of NK1 for division algebras (8 p.)
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• 204. Nicolas Grenier-Boley: Harrison's criterion, Witt equivalence and reciprocity equivalence (21 p.)
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• 203. Kirill Zainoulline: Motivic Decomposition of a generalized Severi-Brauer variety (20 p.)
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• 202. Karim Johannes Becher: Totally positive extensions and weakly isotropic forms (10 p.)
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• 201. V. Chernousov: Another proof of Totaro's theorem on splitting fields of $E_8$-torsors. (8 p.)
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• 200. V. Chernousov, J.-P. Serre: Lower bounds for essential dimensions via orthogonal representations (20 p.)
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• 199. Kirill Zainoulline: Canonical p-dimensions of algebraic groups and degrees of basic polynomial invariants (3 p.)
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• 198. R. Hazrat: Reduced K-theory of Azumaya Algebras (16 p.)
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• 197. R. Hazrat, N. Vavilov: Bak's work on lower K-theory of rings (preliminary version) (17 p.)
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• 196. A.Vishik: Generic points of quadrics and Chow groups (9 p.)
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• 195. Roberto Aravire and Ricardo Baeza: Quadratic and differential forms over function fields of Pfister quadrics in characteristic two (32 p.)
• (2005, Aug 11) Abstract 1 k, dvi.gz 57 k, dvi 158 k, ps.gz 922 k, pdf.gz 265 k, pdf 297 k



• 194. Viktor Petrov, Nikita Semenov, Kirill Zainoulline: Zero-cycles on twisted Cayley plane (9 p.)
• (2005, Aug 8) Abstract 1 k, dvi.gz 17 k, dvi 48 k, ps.gz 604 k, pdf.gz 98 k, pdf 122 k



• 193. Amit Kulshrestha and R. Parimala: R-equivalence in adjoint classical groups over fields of virtual cohomological dimension 2 (45 p.)
• (2005, Jul 25) Abstract 1 k, dvi.gz 62 k, dvi 166 k, ps.gz 776 k, pdf.gz 308 k, pdf 342 k



• 192. Stefan De Wannemacker: Annihilating polynomials for quadratic forms and Stirling numbers of the second kind (14 p.)
• (2005, Aug 3) Abstract 1 k, dvi.gz 16 k, dvi 46 k, ps.gz 695 k, pdf.gz 114 k, pdf 133 k



• 191. -- Withdrawn by authors --



• 190. Karim Johannes Becher: Decomposability for division algebras of exponent two and associated forms (26 p.)
• (2005, Jul 18, revised 2007, Feb 26) Abstract 1 k, dvi.gz 43 k, dvi 105 k, ps.gz 588 k, pdf.gz 223 k, pdf 245 k



• 189. Nikita Semenov, Kirill Zainoulline: On classification of projective homogeneous varieties up to motivic isomorphism (14 p.)
• (2005, Jun 29) Abstract 1 k, dvi.gz 22 k, dvi 74 k, ps.gz 529 k, pdf.gz 125 k, pdf 158 k



• 188. Karim Johannes Becher, Mohammad G. Mahmoudi: On the hermitian $u$-invariant of a quaternion algebra (16 p.)
• (2005, Jun 27, revised 2008, Apr 23) Abstract 1 k, dvi.gz 27 k, dvi 60 k, ps.gz 532 k, pdf.gz 141 k, pdf 160 k



• 187. Nicolas Guay: Cherednik Algebras and Yangians (35 p.)
• (2005, Jun 23) Abstract 1 k, dvi.gz 58 k, dvi 195 k, ps.gz 795 k, pdf.gz 266 k, pdf 297 k



• 186. Baptiste Calmes, Viktor Petrov, Nikita Semenov, Kirill Zainoulline: Chow motives of twisted flag varieties (28 p.)
• (2005, May 11) Abstract 1 k, dvi.gz 44 k, dvi 143 k, ps.gz 717 k, pdf.gz 215 k, pdf 266 k



• 185. Larissa Cadorin, Max-Albert Knus, Markus Rost: On the dimension and other numerical invariants of algebras and vector products (32 p.)
• (2005, May 5) Abstract 1 k, ps.gz 978 k, pdf.gz 326 k, pdf 401 k



• 184. Ivan Panin: A purity theorem for linear algebraic groups (25 p.)
• (2005, Mar 3) Abstract 1 k, dvi.gz 53 k, dvi 161 k, ps.gz 886 k, pdf.gz 245 k, pdf 298 k



• 183. Mohammad Mahmoudi: Hermitian forms and the u-invariant (26 p.)
• (2005, Mar 9) Abstract 1 k, dvi.gz 52 k, dvi 141 k, ps.gz 806 k, pdf.gz 223 k, pdf 324 k



• 182. Daniel Krashen: Zero cycles on homogeneous varieties (32 p.)
• (2005, Mar 2, revised: 2006, May 12) Abstract 1 k, dvi.gz 57 k, dvi 136 k, ps.gz 822 k, pdf.gz 235 k, pdf 274 k



• 181. Jean-Louis Colliot-Thélène et Boris È. Kunyavskii: Groupe de Picard et groupe de Brauer des compactifications lisses d'espaces homogènes (21 p.)
• in French; with an appendix by J.-L. Colliot-Thélène and an appendix by P. Gille
• (2005, Feb 25) Abstract 1 k, dvi.gz 45 k, dvi 123 k, ps.gz 539 k, pdf.gz 212 k, pdf 230 k



• 180. David Lewis, Mohammad Mahmoudi, Jean-Pierre Tignol, Oliver Villa: Decomposable Quadratic Forms and Involutions (15 p.)
• (2005, Feb 21) Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 71 k, ps.gz 725 k, pdf.gz 165 k, pdf 188 k



• 179. S. Nikolenko, N. Semenov, K. Zainoulline: Motivic decomposition of anisotropic varieties of type F4 and generalized Rost motives (21 p.)
• (2005, Feb 17) Abstract 1 k, dvi.gz 35 k, dvi 126 k, ps.gz 648 k, pdf.gz 159 k, pdf 197 k



• 178. Talks given at the Workshop: Algebraic K-Theory, Linear Algebraic Groups and Related Structures
• on the occasion of the midterm review of RTN Network HPRN-CT-2002-00287
• Bielefeld, 09.02.2005 -- 11.2.2005
• Content (Scanned Images, to be completed)



• 177. Karim Johannes Becher: Minimal weakly isotropic forms (14 p.)
• (2005, Jan, 26) Abstract 1 k, dvi.gz 22 k, dvi 52 k, ps.gz 509 k, pdf.gz 128 k, pdf 143 k



• 176. Roberto Aravire and Ricardo Baeza: Annihilators of quadratic and bilinear Pfister forms over fields of characteristic two (14 p.)
• (2005, Jan 18) Abstract 1 k, dvi.gz 25 k, dvi 67 k, ps.gz 801 k, pdf.gz 146 k, pdf 172 k



• 175. Bruno Kahn: On 'horizontal' invariants associated to quadratic forms (13 p.)
• (2005, Jan 17) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 55 k, ps.gz 675 k, pdf.gz 146 k, pdf 167 k



• 174. Mathieu Florence: Rational points on homogeneous spaces and their compactifications (17 p.)
• (2004, Dec 22) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 72 k, ps.gz 579 k, pdf.gz 155 k, pdf 175 k



• 173. withdrawn by authors



• 172. T. Keshavarzipour and M. Mahdavi-Hezavehi: On the non-triviality of $G(D)$ and the existence of maximal subgroups of $GL_1(D) $ (10 p.)
• (2004, Dec 18, to be published in J. Alg.)
• Abstract 1 k, dvi.gz 21 k, dvi 48 k, ps.gz 709 k, pdf.gz 136 k, pdf 155 k



• 171. Nikita A. Karpenko: A bound for canonical dimension of the spinor group (10 p.)
• (2004, Dec 9) Abstract 1 k, dvi.gz 21 k, dvi 47 k, ps.gz 735 k, pdf.gz 140 k, pdf 162 k



• 170. Nikita A. Karpenko and Alexander S. Merkurjev: Canonical p-dimension of algebraic groups (22 p.)
• (2004, Dec 9) Abstract 1 k, dvi.gz 46 k, dvi 112 k, ps.gz 958 k, pdf.gz 247 k, pdf 281 k



• 169. Skip Garibaldi and Detlev W. Hoffmann: Totaro's Question for G_2, F_4, and E_6 (15 p.)
• (2004, Dec 7, published: Journal of the London Mathematical Society 73 #2 (2006) 325-338)
• Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 72 k, ps.gz 679 k, pdf.gz 184 k, pdf 206 k



• 168. A.Vishik: On the Chow Groups of Quadratic Grassmannians (23 p.)
• (2004, Nov 30, corrected version of 2004, Dec 9)
• Abstract 1 k, dvi.gz 36 k, dvi 88 k, ps.gz 867 k, pdf.gz 189 k, pdf 218 k



• 167. John Labute, Nicole Lemire, Jan Minac, John Swallow: Cohomological dimension and Schreier's formula in Galois cohomology (7 p.)
• (2004, Nov 20) Abstract 1 k, dvi.gz 13 k, dvi 38 k, ps.gz 798 k, pdf.gz 99 k, pdf 125 k



• 166. Jan Minac, Andrew Schultz, John Swallow: Cyclic algebras and construction of some Galois modules (8 p.)
• (2004, Oct 30) Abstract 1 k, dvi.gz 16 k, dvi 41 k, ps.gz 742 k, pdf.gz 112 k, pdf 138 k



• 165. Jan Minac, Andrew Schultz, John Swallow: Galois module structure of pth-power classes of cyclic extensions of degree p^n (47 p.)
• (2004, Oct 30) Abstract 1 k, dvi.gz 82 k, dvi 279 k, ps.gz 874 k, pdf.gz 381 k, pdf 462 k



• 164. Nicole Lemire, Jan Minac, John Swallow: When is Galois cohomology free or trivial? (29 p.)
• (2004, Oct 30) Abstract 1 k, dvi.gz 48 k, dvi 166 k, ps.gz 834 k, pdf.gz 242 k, pdf 305 k



• 163. Nicole Lemire, Jan Minac, John Swallow: Galois module structure of Galois cohomology (20 p.)
• (2004, Oct 30) Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 81 k, ps.gz 834 k, pdf.gz 182 k, pdf 209 k



• 162. Ganesh Bhandari, Nicole Lemire, Jan Minac, John Swallow: Galois module structure of Milnor K-theory in characteristic p (14 p.)
• (2004, Oct 29) Abstract 1 k, dvi.gz 26 k, dvi 78 k, ps.gz 796 k, pdf.gz 149 k, pdf 183 k



• 161. Boris E. Kunyavskii , Louis H. Rowen, Sergey V. Tikhonov, and Vyacheslav I. Yanchevskii: Division algebras that ramify only on a plane quartic curve (9 p.)
• (2004, Oct 25) Abstract 1 k, dvi.gz 20 k, dvi 44 k, ps.gz 715 k, pdf.gz 130 k, pdf 149 k



• 160. Ahmed Laghribi: Witt kernels of function field extensions in characteristic 2 (20 p.)
• (2004, Oct 12) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 82 k, ps.gz 650 k, pdf.gz 180 k, pdf 203 k



• 159. Ahmed Laghribi: Witt kernels of quadratic forms for purely inseparable multiquadratic extensions in characteristic 2 (6 p.)
• (2004, Oct 12) Abstract 1 k, dvi.gz 14 k, dvi 33 k, ps.gz 691 k, pdf.gz 101 k, pdf 119 k



• 158. Detlev W. Hoffmann: Witt kernels of bilinear forms for algebraic extensions in characteristic 2 (8 p.)
• (2004, Oct 11) Abstract 1 k, dvi.gz 18 k, dvi 39 k, ps.gz 617 k, pdf.gz 116 k, pdf 132 k



• 157. Jurgen Hurrelbrink, Nikita A. Karpenko, and Ulf Rehmann: The Minimal Height of Quadratic Forms of Given Dimension (8 p.)
• (2004, Oct 6) Abstract 1 k, dvi.gz 18 k, dvi 42 k, ps.gz 670 k, pdf.gz 126 k, pdf 145 k



• 156. D.F. Bazyleu, J. Van Geel, V. I. Yanchevskii: Omega-algebras over Henselian Discrete Valued Fields with real closed residue field (24 p.)
• (2004, Oct 5) Abstract 1 k, dvi.gz 48 k, dvi 125 k, ps.gz 347 k, pdf.gz 213 k, pdf 228 k



• 155. Sergey V. Tikhonov, Jan Van Geel, Vyacheslaw I. Yanchevskii: Pythagoras numbers of function fields of hyperelliptic curves with good reduction (17 p.)
• (2004, Oct 5) Abstract 1 k, dvi.gz 35 k, dvi 86 k, ps.gz 795 k, pdf.gz 208 k, pdf 233 k



• 154. Karim Johannes Becher: On fields of $u$-invariant 4 (7 p.)
• (2004, Sep 27) Abstract 1 k, dvi.gz 17 k, dvi 37 k, ps.gz 587 k, pdf.gz 106 k, pdf 123 k



• 153. Bruno Kahn: On "horizontal" invariants attached to quadratic forms (11 p.)
• (2004, Sep 10) Abstract 1 k, dvi.gz 23 k, dvi 52 k, ps.gz 638 k, pdf.gz 137 k, pdf 158 k



• 152. M.Ojanguren, I.Panin, K.Zainoulline: On the Norm Principle for Quadratic Forms (14 p.)
• (2004, Aug 31) Abstract 1 k, dvi.gz 22 k, dvi 54 k, ps.gz 564 k, pdf.gz 129 k, pdf 157 k



• 151. Vladimir L. Popov: Generically multiple transitive algebraic group actions (23 p.)
• (2004, Sep 1, revised 2005, Mar 5) Abstract 1 k, dvi.gz 52 k, dvi 146 k, ps.gz 975 k, pdf.gz 264 k, pdf 296 k



• 150. N. Lemire, V. L. Popov, Z. Reichstein: Cayley groups (47 p.)
• (2004, Sep 1) Abstract 1 k, dvi.gz 95 k, dvi 245 k, ps.gz 1336 k, pdf.gz 435 k, pdf 483 k



• 149. Lectures given at the Conference: Motives, K-theory and Arithmetical Geometry
• Summer School & Workshop, Sestri Levante (Genova, Italy) June 28 - July 2, 2004
• Content (Scanned Images, to be completed)



• 148. R. Parimala: Homogeneous varieties- zero cycles of degree one versus rational points (10 p.)
• (2004, Aug 10, revised: 2004, Nov 19) Abstract 1 k, dvi.gz 9 k, dvi 20 k, ps.gz 459 k, pdf.gz 62 k, pdf 77 k



• 147. Patrick Brosnan: On motivic decompositions arising from the method of Bialynicki-Birula (20 p.)
• (2004, Aug 20) Abstract 1 k, dvi.gz 45 k, dvi 132 k, ps.gz 731 k, pdf.gz 225 k, pdf 279 k



• 146. Paul Balmer and Raman Preeti: Shifted Witt groups of semi-local rings (21 p.)
• (2004, Jul 28) Abstract 1 k, dvi.gz 56 k, dvi 143 k, ps.gz 935 k, pdf.gz 249 k, pdf 281 k



• 145. D. Kiani, M. Mahdavi-Hezavehi: Crossed Product Conditions for Division Algebras of Prime Power Degree (16 p.)
• (2004, Jul 28) Abstract 1 k, dvi.gz 25 k, dvi 64 k, ps.gz 548 k, pdf.gz 141 k, pdf 159 k



• 144. Nikita A. Karpenko: Canonical dimension of orthogonal groups (4 p.)
• (2004, Jul 26) Abstract 1 k, dvi.gz 11 k, dvi 22 k, ps.gz 629 k, pdf.gz 88 k, pdf 103 k



• 143. Baptiste Calmès and Jens Hornbostel: Witt Motives, Transfers and Reductive Groups (29 p.)
• (2004, Jul 16, updated: 2005, Jan 4) Abstract 1 k, dvi.gz 69 k, dvi 173 k, ps.gz 754 k, pdf.gz 317 k, pdf 373 k



• 142. Venkata Balaji, Thiruvalloor Eesanaipaadi: A Limiting Version of a Theorem in Cohomology --- Dedicated to Professor Martin Kneser (13 p.)
• (2004, Jul 4) Abstract 1 k, dvi.gz 41 k, dvi 111 k, ps.gz 823 k, pdf.gz 223 k, pdf 249 k



• 141. Nikita A. Karpenko: A relation between higher Witt indices (10 p.)
• (2004, Jun 27) Abstract 1 k, dvi.gz 21 k, dvi 49 k, ps.gz 764 k, pdf.gz 137 k, pdf 158 k



• 140. Gregory Berhuy and Zinovy Reichstein: On the notion of canonical dimension for algebraic groups (36 p.)
• (2004, Jun 18) Abstract 1 k, dvi.gz 69 k, dvi 164 k, ps.gz 768 k, pdf.gz 325 k, pdf 358 k



• 139. Jeroen Demeyer, Jan Van Geel: An Existential Divisibility Lemma for Global Fields (18 p.)
• (2004, Jun 16) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 76 k, ps.gz 575 k, pdf.gz 164 k, pdf 184 k



• 138. Yoshihide Nakamura and Takao Watanabe: The normalization constant of a certain invariant measure on GL_n(D_A) (19 p.)
• (2004, Jun 11) published at Manuscripta Math.



• 137. Louis Rowen, Alexandre Sivatski, Jean-Pierre Tignol: Division Algebras Over Rational Function Fields in One Variable (24 p.)
• (2004, May 24) Abstract 1 k, dvi.gz 35 k, dvi 86 k, ps.gz 735 k, pdf.gz 204 k, pdf 233 k



• 136. Venkata Balaji, Thiruvalloor Eesanaipaadi: Degenerations of Rank 3 Quadratic Bundles and Rank 4 Azumaya Bundles over Schemes --- Dedicated to Professor Martin Kneser (32 p.)
• (2004, May 4) Abstract 1 k, dvi.gz 97 k, dvi 266 k, ps.gz 1172 k, pdf.gz 457 k, pdf 519 k



• 135. V. Chersousov, P. Gille and Z. Reichstein: Resolving G-torsors by abelian base extensions (19 p.)
• (2004, Mar 29) Abstract 1 k, dvi.gz 39 k, dvi 90 k, ps.gz 713 k, pdf.gz 218 k, pdf 254 k



• 133. D. Kiani, M. Mahdavi-Hezavehi: Identities on Maximal Subgroups of $ GL_n(D)$ (14 p.)
• (2004, Mar 18) Abstract 1 k, dvi.gz 19 k, dvi 50 k, ps.gz 489 k, pdf.gz 114 k, pdf 131 k



• 132. R. Ebrahimian, D. Kiani, M. Mahdavi-Hezavehi: Supersoluble Crossed Product Criterion for Division Algebras (10 p.)
• (2004, Jan 19) Abstract 1 k, dvi.gz 13 k, dvi 32 k, ps.gz 516 k, pdf.gz 91 k, pdf 112 k



• 131. Raman Preeti and Jean-Pierre Tignol: Multipliers of Improper Similitudes (22 p.)
• (2004, Feb 11) Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 85 k, ps.gz 522 k, pdf.gz 165 k, pdf 197 k



• 130. David W. Lewis, Thomas Unger and Jan Van Geel: The Hasse principle for similarity of hermitian forms (20 p.)
• (2004, Jan 30) Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 79 k, ps.gz 795 k, pdf.gz 197 k, pdf 236 k



• 129. Detlev W. Hoffmann and Ahmed Laghribi: Isotropy of quadratic forms over the function field of a quadric in characteristic 2 (29 p.)
• (2003, Dec 18) Abstract 1 k, dvi.gz 44 k, dvi 113 k, ps.gz 609 k, pdf.gz 238 k, pdf 278 k



• 128. Nikita A. Karpenko: Holes in $I^n$ (29 p.)
• (2003, Dec 12) Abstract 1 k, dvi.gz 62 k, dvi 160 k, ps.gz 994 k, pdf.gz 306 k, pdf 357 k



• 127. I. Panin: Rationally isotropic quadratic spaces are locally isotropic (3 p.)
• (2003, Dec, 6) Abstract 1 k, dvi.gz 6 k, dvi 12 k, ps.gz 461 k, pdf.gz 57 k, pdf 72 k



• 126. I. Panin, U. Rehmann: A Variant of a Theorem by Springer (8 p.)
• (2003, Dec 6) Abstract 1 k, dvi.gz 15 k, dvi 38 k, ps.gz 588 k, pdf.gz 93 k, pdf 117 k



• 125. R. Ebrahimian, D. Kiani, M. Mahdavi-Hezavehi: Irreducible Subgroups of $GL_1(D)$ Satisfying Group Identities (11 p.)
• (2003, Nov 20) Abstract 1 k, dvi.gz 15 k, dvi 37 k, ps.gz 554 k, pdf.gz 96 k, pdf 119 k



• 124. Philippe Gille: Rationalité du quotient d'une variété de Severi-Brauer par un automorphisme de Kummer. (5 p.)
• (2003, Nov 20) Abstract 1 k, dvi.gz 8 k, dvi 17 k, ps.gz 548 k, pdf.gz 69 k, pdf 88 k



• 123. Paul Balmer and Stefan Gille: Koszul complexes and symmetric forms over the punctured affine space (29 p.)
• (2003, Oct 31) Abstract 1 k, dvi.gz 72 k, dvi 184 k, ps.gz 1006 k, pdf.gz 309 k, pdf 351 k



• 122. Karim Johannes Becher: Supreme Pfister Forms (29 p.)
• (2003, Oct 14) Abstract 1 k, dvi.gz 47 k, dvi 120 k, ps.gz 700 k, pdf.gz 242 k, pdf 284 k



• 121. M. Mahdavi-Hezavehi: Tits Alternative for Maximal Subgroups of $ GL_n(D)$ (18 p.)
• (2003, Oct 5) Abstract 1 k, dvi.gz 26 k, dvi 65 k, ps.gz 563 k, pdf.gz 146 k, pdf 175 k



• 120. Jan Minac & Zinovy Reichstein: Trace forms of Galois extensions in the presence of a fourth root of unity (19 p.)
• (2003, Sep 3) Abstract 1 k, dvi.gz 37 k, dvi 84 k, ps.gz 683 k, pdf.gz 210 k, pdf 245 k



• 119. Ivan Panin: Purity for Similarity Factors (21 p.)
• (2003, Sep 2) Abstract 1 k, dvi.gz 42 k, dvi 97 k, ps.gz 934 k, pdf.gz 212 k, pdf 256 k



• 118. Jan Minac & John Swallow: Galois embedding problems with cyclic quotient of order p (15 p.)
• (2003, Aug 21) Abstract 1 k, dvi.gz 28 k, dvi 70 k, ps.gz 659 k, pdf.gz 169 k, pdf 193 k



• 117. Karim Johannes Becher: Algèbres simples centrales à involution de première espèce (14 p.)
• (2003, Jul 10) Abstract 1 k, dvi.gz 27 k, dvi 63 k, ps.gz 551 k, pdf.gz 136 k, pdf 155 k



• 116. P. Gille: Type des tores maximaux des groupes semi-simples (12 p.)
• (2003, Jul 8), published at J. Ramanujan Math. Soc. * 19 *
• (2004), no. 3, 213--230.



• 115. Karim Johannes Becher, Detlev Hoffmann: On symbol lengths in Milnor K-theory (18 p.)
• (2003, Jul 8) Abstract 1 k, dvi.gz 33 k, dvi 82 k, ps.gz 638 k, pdf.gz 169 k, pdf 193 k



• 114. Jean-Paul Bonnet: A motivic isomorphism between two homogeneous projective varieties under the action of group of type G_2 (24 p.)
• (2003, Jul 7, revised: 2003, Sep 12) Abstract 1 k, dvi.gz 48 k, dvi 130 k, ps.gz 694 k, pdf.gz 268 k, pdf 402 k



• 113. N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi: Exact Sequences of Witt Groups (22 p.)
• (2003, Jun 10) Abstract 1 k, dvi.gz 41 k, dvi 113 k, ps.gz 919 k, pdf.gz 215 k, pdf 249 k



• 112. K. Zainoulline: On Knebusch's Norm Principle for quadratic forms over semi-local rings (10 p.)
• (2003, Apr 25, revised 2003, May 14) Abstract 1 k, dvi.gz 18 k, dvi 44 k, ps.gz 588 k, pdf.gz 111 k, pdf 131 k



• 111. Jan Minac & Adrian Wadsworth: The first two cohomology groups of some Galois groups (32 p.)
• (2003, Apr 10) Abstract 1 k, dvi.gz 78 k, dvi 199 k, ps.gz 942 k, pdf.gz 354 k, pdf 390 k



• 110. Jan Minac & John Swallow: Construction and classification of some Galois modules (18 p.)
• (2003, Apr 7) Abstract 1 k, dvi.gz 35 k, dvi 87 k, ps.gz 894 k, pdf.gz 178 k, pdf 212 k



• 109. P. Gille: Spécialisation de la R-équivalence pour les groupes algébriques linéaires (15 p.)
• (2003, Mar 21) Abstract 1 k, dvi.gz 22 k, dvi 50 k, ps.gz 163 k, pdf.gz 123 k, pdf 144 k



• 108. Gregory Berhuy and Giordano Favi: Essential dimension of cubics (17 p.)
• (2003, Mar 14) Abstract 1 k, dvi.gz 38 k, dvi 90 k, ps.gz 254 k, pdf.gz 180 k, pdf 206 k



• 107. Jean-Louis Colliot-Thélène, Philippe Gille, Raman Parimala: Arithmetic of linear algebraic groups over two-dimensional geometric fields (40 p.)
• (Remark: The graphics will not appear in the dvi files.)
• (2003, Mar 10) Abstract 1 k, dvi.gz 83 k, dvi 218 k, ps.gz 279 k, pdf.gz 355 k, pdf 383 k



• 106. M.-A. Knus, J.-P. Tignol: Quartic Exercises (49 p.)
• (2003, Mar 5) Abstract 1 k, dvi.gz 93 k, dvi 259 k, ps.gz 426 k, pdf.gz 390 k, pdf 436 k



• 105. Andrei Suslin: Detection Theorem for Finite Group Schemes (31 p.)
• (2003, Feb 17) Abstract 1 k, dvi.gz 58 k, dvi 151 k, ps.gz 306 k, pdf.gz 270 k, pdf 299 k



• 104. Roozbeh Hazrat: On triviality of the functor $\text{Coker}(K_1(F) \rightarrow K_1(D))$ for division algebras (7 p.)
• (2003, Jan 25) Abstract 1 k, dvi.gz 15 k, dvi 36 k, ps.gz 181 k, pdf.gz 109 k, pdf 129 k



• 103. Detlev W. Hoffmann, Ahmed Laghribi: Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2 (33 p.)
• (2003, Jan 18) Abstract 1 k, dvi.gz 82 k, dvi 210 k, ps.gz 342 k, pdf.gz 351 k, pdf 382 k



• 102. Ahmed Serhir, Jean-Pierre Tignol: The discriminant of a decomposable symplectic involution (6 p.)
• (2003, Jan 10) Abstract 1 k, dvi.gz 13 k, dvi 27 k, ps.gz 162 k, pdf.gz 93 k, pdf 110 k



• 101. Takao Watanabe: A survey and a complement of fundamental Hermite constants (13 p.)
• (2003, Jan 9) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 57 k, ps.gz 243 k, pdf.gz 148 k, pdf 173 k



• 100. Takao Watanabe: Fundamental Hermite constants of linear algebraic groups (24 p.)
• (2003, Jan 9) Abstract 1 k, dvi.gz 41 k, dvi 104 k, ps.gz 318 k, pdf.gz 213 k, pdf 246 k



• 99. Michael Adam, Birte Julia Mutschler: On Wedderburn's theorem about finite division algebras (10 p.)
• (2002, Dec 5, revised 2003, Apr 23) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 53 k, ps.gz 236 k, pdf.gz 149 k, pdf 176 k



• 98. R. Parimala, R. Preeti: Hasse principle for Classical groups over function fields of curves over number fields (33 p.)
• (2002, Sep 16) Abstract 1 k, dvi.gz 68 k, dvi 180 k, ps.gz 359 k, pdf.gz 295 k, pdf 335 k



• 97. Uzi Vishne: Galois cohomology of fields without roots of unity (46 p.)
• (2002, Jul, 26) Abstract 1 k, dvi.gz 86 k, dvi 208 k, ps.gz 420 k, pdf.gz 337 k, pdf 384 k



• 96. Nikita A. Karpenko: Izhboldin's results on stably birational equivalence of quadrics (31 p.)
• (2002, Jul 6) Abstract 1 k, dvi.gz 57 k, dvi 145 k, ps.gz 286 k, pdf.gz 267 k, pdf 298 k



• 95. G. Berhuy, M. Monsurro, J.-P. Tignol: Cohomological invariants and R-triviality of adjoint classical groups (10 p.)
• (2002, Jul 3) Abstract 1 k, dvi.gz 20 k, dvi 48 k, ps.gz 222 k, pdf.gz 128 k, pdf 150 k



• 94. Ivan Panin, Serge Yagunov: Poincaré Duality for Projective Varieties (18 p.)
• (2002, Jul 1) Abstract 2 k, dvi.gz 40 k, dvi 103 k, ps.gz 276 k, pdf.gz 187 k, pdf 218 k



• 93. Nikita Karpenko and Alexander Merkurjev: Rost projectors and Steenrod operations (13 p.)
• (2002, Jun 22) Abstract 1 k, dvi.gz 24 k, dvi 55 k, ps.gz 232 k, pdf.gz 145 k, pdf 169 k



• 92. Daniel Krashen: Severi-Brauer varieties of semidirect product algebras ( p.)
• (2002, Jun 15) Abstract 1 k, dvi.gz 31 k, dvi 75 k, ps.gz 222 k, pdf.gz 159 k, pdf 189 k



• 91. Nikita A. Karpenko: On the first Witt index of quadratic forms (7 p.)
• (2002, Jun 14) Abstract 1 k, dvi.gz 16 k, dvi 34 k, ps.gz 187 k, pdf.gz 109 k, pdf 131 k



• 90. Nikita Karpenko and Alexander Merkurjev: Essential dimension of quadrics (9 p.)
• (2002, Jun 13) Abstract 1 k, dvi.gz 18 k, dvi 39 k, ps.gz 194 k, pdf.gz 117 k, pdf 142 k



• 89. R. Skip Garibaldi: The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions (21 p.)
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• Abstract 1 k, dvi.gz 21 k, dvi 46 k, ps.gz 187 k, pdf.gz 110 k, pdf 152 k



• 88. Withdrawn by Author



• 87. Philippe Gille: Unipotent subgroups of reductive groups in characteristic p>0 (17 p.)
• (2002, Apr 10), published in Duke Math. J. * 114 * (2002), no. 2, 307--328



• 86. S. Pumplün and T. Unger: The hermitian level of composition algebras (17 p.)
• (2002, Mar 22) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 78 k, ps.gz 210 k, pdf.gz 143 k, pdf 189 k



• 85. Tatiana Howard: The invariant $e^0$ (3 p.)
• (2002, Mar 21) (Upon request by the author, this manuscript was removed from the server. Published in International Journal of Applied Mathematics, Vol. 19 no.2, 2006, 233-238.)



• 84. G. Berhuy, M. Monsurro, J.-P. Tignol: The discriminant of a symplectic involution (15 p.)
• (2002, Mar 15) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 77 k, ps.gz 222 k, pdf.gz 146 k, pdf 193 k



• 83. I. Panin, K. Zainoulline: Variations on the Bloch-Ogus Theorem (21 p.)
• (2002, Mar, 13) Abstract 1 k, dvi.gz 35 k, dvi 89 k, ps.gz 238 k, pdf.gz 152 k, pdf 208 k



• 82. Daniel Krashen: Birational isomorphisms between generalized Severi-Brauer varieties (25 p.)
• (2002, Mar 12) Abstract 1 k, dvi.gz 36 k, dvi 87 k, ps.gz 219 k, pdf.gz 155 k, pdf 206 k



• 81. Seàn McGarraghy: Symmetric powers of symmetric bilinear forms (16 p.)
• (2002, Mar 09) Abstract 1 k, dvi.gz 32 k, dvi 80 k, ps.gz 258 k, pdf.gz 149 k, pdf 200 k



• 80. Albrecht Pfister: Eine Bemerkung zum Normenresthomomorphismus h: K^*F/2 --> H^*(F,Z/2) (15 p.)
• (2002, Mar 06) Abstract 1 k, dvi.gz 26 k, dvi 64 k, ps.gz 214 k, pdf.gz 120 k, pdf 179 k



• 79. Ján Minác, John Swallow: Galois Module Structure of $p$th-Power Classes of Extensions of Degree $p$ (15 p.)
• (2002, Feb 12) Abstract 1 k, dvi.gz 27 k, dvi 64 k, ps.gz 236 k, pdf.gz 134 k, pdf 185 k



• 78. Claus Scheiderer, Joost van Hamel: Cohomology of tori over p-adic curves (27 p.)
• (2002, Jan 24) Abstract 1 k, dvi.gz 44 k, dvi 118 k, ps.gz 314 k, pdf.gz 197 k, pdf 263 k



• 77. B. Kahn and A. Laghribi: A second descent problem for quadratic forms (36 p.)
• (2002, Jan 21) Abstract 1 k, dvi.gz 21 k, dvi 46 k, ps.gz 203 k, pdf.gz 107 k, pdf 151 k



• 76. Wenfeng Gao, David B. Leep, Ján Minác, Tara L. Smith: Galois groups over nonrigid fields (21 p.)
• This paper will appear in the volume entitled, "Valuation Theory and Its Applications", of the series "Fields Institute Communications", published by the American Mathematical Society
• (2002, Jan 20) Abstract 1 k, dvi.gz 38 k, dvi 109 k, ps.gz 235 k, pdf.gz 172 k, pdf 220 k



• 75. Louis Mahé, Ján Minác, Tara L. Smith: Additive structure of multiplicative subgroups of fields and Galois theory (52 p.)
• (2002, Jan 20) Abstract 1 k, dvi.gz 1 k, dvi 329 k, ps.gz 441 k, pdf.gz 437 k, pdf 505 k



• 74. V. Chernousov: The kernel of the Rost invariant, Serre's Conjecture II and the Hasse principle for quasi-split groups $^{3,6}D_4,E_6,E_7$ (29 p.)
• (2002, Jan 13) Abstract 1 k, dvi.gz 54 k, dvi 144 k, ps.gz 317 k, pdf.gz 226 k, pdf 300 k



• 73. Martin Epkenhans: On the annihilating ideal for trace forms (11 p.)
• (2001, Nov 21) Abstract 1 k, dvi.gz 16 k, dvi 36 k, ps.gz 155 k, pdf.gz 91 k, pdf 132 k



• 72. R. Skip Garibaldi: Unramified cohomology of classifying varieties for exceptional simply connected groups (12 p.) (2001, Nov 19, published in Transactions of the AMS, 358 #1 (2006), 359-371.)
• Abstract 1 k, dvi.gz 29 k, dvi 68 k, ps.gz 253 k, pdf.gz 143 k, pdf 193 k



• 71. R. Aravire, R. Baeza: The behavior of quadratic and differential forms under function field extensions in characteristic two (74 p.)
• (2001, Nov 6) Abstract 1 k, dvi.gz 89 k, dvi 253 k, ps.gz 367 k, pdf.gz 332 k, pdf 408 k



• 70. R. Aravire and R. Baeza: Linkage of fields in characteristic 2 (10 p.)
• (2001, Nov 6) Abstract 1 k, dvi.gz 19 k, dvi 50 k, ps.gz 201 k, pdf.gz 102 k, pdf 144 k



• 69. David W. Lewis, Thomas Unger: A local-global principle for algebras with involution and hermitian forms (8 p.)
• (2001, Oct 4) Abstract 1 k, dvi.gz 18 k, dvi 42 k, ps.gz 81 k, pdf.gz 65 k, pdf 101 k



• 68. A.S. Merkurjev, R. Parimala, J.-P. Tignol: Invariants of quasi-trivial tori and the Rost invariant (29 p.)
• (2001, Sep 28) Abstract 1 k, dvi.gz 56 k, dvi 159 k, ps.gz 345 k, pdf.gz 239 k, pdf 302 k



• 67. Alexander Zheglov: Wild division algebras over Laurent series fields (32 p.)
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• 66. Seán McGarraghy: Exterior powers of symmetric bilinear forms (23 p.)
• (2001, Aug 27) Abstract 1 k, dvi.gz 41 k, dvi 106 k, ps.gz 275 k, pdf.gz 179 k, pdf 239 k



• 65. E. Bayer--Fluckiger and R. Parimala: Pfister Involutions (6 p.)
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• 64. David W. Lewis, Claus Scheiderer and Thomas Unger: A Weak Hasse Principle for Central Simple Algebras with an Involution (11 p.)
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• 63. Yves André and Bruno Kahn: Nilpotence, radicaux et structures monoidales (146 p.)
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• 62. Tuong Ton-That: A Generalized Poincaré Theorem for Dual Lie Transformation Groups (11 p.)
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• 61. S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi: On the Existence of Normal Maximal Subgroups in Division Rings (13 p.)
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• 60. Roozbeh Hazrat, Nikolai Vavilov: K_1 of Chevalley groups are nilpotent (17 p.)
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• 59. Anne Quéguiner-Mathieu, Jean-Pierre Tignol: Discriminant and Clifford Algebras (32 p.)
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• 54. Fritz Grunewald, Boris Kunyavskii, Daniela Nikolova, Eugene Plotkin: Two-variable identities in groups and Lie algebras (29 p.)
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• 52. Jörg Jahnel: The Brauer-Severi Variety Associated with a Central Simple Algebra: A Survey (60 p.)
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• 48. Mikhail Borovoi and Boris Kunyavskii: Brauer equivalence in a homogeneous space with connected stabilizer (13 p.)
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• 47. Mohamed Abdou Elomary, Jean-Pierre Tignol: Classification of quadratic forms over skew fields of characteristic 2 (21 p.)
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• 46. Hinda Hamraoui: Un facteur direct canonique de la $K$-th\'eorie d'anneaux d'entiers alg\'ebriques non exceptionnels (12 p.)
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• 45. Hvedri Inassaridze: Higher Non-Abelian Cohomology of Groups (27 p.)
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• 44. J.-L. Colliot-Thélène, M. Ojanguren, R. Parimala: Quadratic forms over fraction fields of two-dimensional henselian rings and Brauer groups of related schemes (20 p.)
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• 43. R. Skip Garibaldi, Anne Quéguiner-Mathieu, and Jean-Pierre Tignol: Involutions and Trace Forms on Exterior Powers of a Central Simple Algebra (14 p.)
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• Abstract 1 k, dvi.gz 33 k, dvi 84 k, ps.gz 192 k, pdf.gz 198 k, pdf 236 k



• 42. Roozbeh Hazrat: On the central series of the multiplicative group of division rings (8 p.)
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• 41. V. Guletskii: The middle of the diagonal of a surface with $p_g=0$ and $q=1$ (14 p.)
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• 40. Grégory Berhuy, Christoph Frings: On the second trace form of central simple algebras in characteristic two (13 p.)
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• 39. Grégory Berhuy: Trace forms of central simple algebras over a local field or a global field (9 p.)
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• 38. Grégory Berhuy: On the computation of the trace form of central simple algebras with involution (to appear in Comm. in Algebra) (8 p.)
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• 37. Grégory Berhuy: On hermitian trace forms over hilbertian fields (to appear in Math.Z.) (11 p.)
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• 36. Grégory Berhuy: Réalisation de formes $\mathbb{Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées (to appear in J. de Theorie des nombres de Bordeaux) (12 p.)
• (2000, Apr. 10) Abstract 1 k, dvi.gz 22 k, dvi 58 k, ps.gz 125 k, pdf.gz 127 k, pdf 165 k



• 35. K. Zainoulline: A Purity Theorem for Functors with Transfers (19 p.)
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• 34. R. Hazrat: Wedderburn's Factorization Theorem Application to Reduced $K$-Theory (5 p.)
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• 33. R. Hazrat: SK_1 like functors for division algebras (14 p.)
• (2000, Mar. 30) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 74 k, ps.gz 199 k, pdf.gz 198 k, pdf 255 k



• 32. Helmut Behr: Higher finiteness properties of $S$-arithmetic groups in the function field case I: Chevalley groups with coefficients in {$\bf \F_q[t]$}} (18 p.)
• (2000, Mar. 29, revised: 2001, Feb. 23) Abstract 1 k, dvi.gz 30 k, dvi 67 k, ps.gz 154 k, pdf.gz 175 k, pdf 230 k



• 31. David W. Lewis: Annihilating polynomials for quadratic forms (9 p.)
• (2000, Mar. 28) Abstract 1 k, dvi.gz 14 k, dvi 32 k, ps.gz 108 k, pdf.gz 106 k, pdf 136 k



• 30. Jean-Louis Loday: Des mammouths à la K-théorie algébrique (7 p.)
• (2000, Mar. 20) Abstract 1 k, dvi.gz 12 k, dvi 27 k, ps.gz 97 k, pdf.gz 91 k, pdf 124 k



• 29. J. Boutros, E. Viterbo: Signal Space Diversity: a power and bandwidth efficient diversity technique
• for the Rayleigh fading channel (34 p.)
• (Dvi files may not contain all of the graphics.)
• (2000, Mar. 08; published in IEEE Trans. Inform. Theory 44 (1998), no. 4, 1453--1467.)
• Abstract 1 k, dvi.gz 40 k, dvi 98 k, ps.gz 221 k, pdf.gz 317 k, pdf 378 k





• 28. Emanuele Viterbo: Computational methods for analysis and design of lattice constellations (99 p.)
• (2000, Mar. 08)
• Abstract 4 k, ps.gz 792 k, pdf.gz 984 k, pdf 3395 k



• 27. J. M. Casas, J.-L. Loday, and T. Pirashvili: Leibniz n-algebras (21 p.)
• (2000, Mar. 06) Abstract 1 k, dvi.gz 25 k, dvi 66 k, ps.gz 140 k, pdf.gz 152 k, pdf 186 k



• 26. Oleg T. Izhboldin: Fields of u-invariant 9 (50 p.)
• (2000, Feb. 25) Abstract 1 k, dvi.gz 91 k, dvi 252 k, ps.gz 305 k, pdf.gz 399 k, pdf 461 k



• 25. Brun, Morten: Filtered Topological Hochschild Homology (21 p.)
• (2000, Feb. 16) Abstract 1 k, dvi.gz 40 k, dvi 109 k, ps.gz 209 k, pdf.gz 227 k, pdf 279 k



• 24. Oleg Izhboldin and Alexander Vishik: Quadratic forms with absolutely Maximal Splitting (22 p.)
• (2000, Feb. 14, published in: E. Bayer-Fluckiger e.a., Proceedings of the Conference on ``Quadratic Forms and their Applications'' in Dublin, July 4-10, 1999. Contemp. Math. 272 (2000), 103-125.)
• Abstract 1 k, dvi.gz 50 k, dvi 123 k, ps.gz 260 k, pdf.gz 296 k, pdf 353 k



• 23. Manfred Knebusch and Ulf Rehmann: Generic Splitting Towers and Generic Splitting Preparation of Quadratic Forms (26 p.)
• (2000, Feb. 11, published in: E. Bayer-Fluckiger e.a., Proceedings of the Conference on ``Quadratic Forms and their Applications'' in Dublin, July 4-10, 1999. Contemp. Math. 272 (2000), 173-199.)
• Abstract 1 k, dvi.gz 60 k, dvi 151 k, ps.gz 233 k, pdf.gz 278 k, pdf 339 k



• 22. Iver Ottosen: Equivariant evaluation on free loop spaces (30 p.)
• (2000, Jan. 28) Abstract 1 k, dvi.gz 47 k, dvi 120 k, ps.gz 210 k, pdf.gz 260 k, pdf 320 k



• 21. L.Di Martino, M.C.Tamburini and A.Zalesskii: On Hurwitz Groups of Low Rank (25 p.)
• (1999, Nov. 22) Abstract 1 k, dvi.gz 49 k, dvi 136 k, ps.gz 186 k, pdf.gz 244 k, pdf 287 k



• 20. Marcel Bokstedt & Iver Ottosen: Homotopy orbits of free loop spaces (33 p.)
• (1999, Nov. 18) Abstract 1 k, dvi.gz 38 k, dvi 105 k, ps.gz 191 k, pdf.gz 286 k, pdf 366 k



• 19. V.Guletskii: Algebras of exponent 2 over an elliptic curve (22 p.)
• (1999, Nov. 15) Abstract 1 k, dvi.gz 43 k, dvi 145 k, ps.gz 199 k, pdf.gz 231 k, pdf 301 k



• 18. M. Mahdavi-Hezavehi, M. G. Mahmudi, S. Yasamin: Finitely Generated Subnormal Subgroups
• of $ GL_n(D) $ Are Central (6 p.)
• (to appear in Journal of Algebra)
• (1999, Nov. 10) Abstract 1 k, dvi.gz 11 k, dvi 26 k, ps.gz 110 k, pdf.gz 122 k, pdf 161 k



• 17. Patrick J. Morandi and S. Pumplün: On the tensor product of two composition algebras (19 p.)
• (1999, Nov. 5) Abstract 1 k, dvi.gz 34 k, dvi 86 k, ps.gz 150 k, pdf.gz 196 k, pdf 256 k



• 16. V.V. Benyash-Krivets: Decomposing some finitely generated groups into free products with amalgamation (26 p.)
• (1999, Oct. 4) Abstract 2k, dvi.gz 45k, dvi 117k, ps.gz 122k, pdf.gz 267k, pdf 322k



• 15. Jun Morita and Eugene Plotkin: Prescribed Gauss decomposition for Kac-Moody groups over fields. (8 p.)
• (1999, Sept. 2) Abstract 1k, dvi.gz 13k, dvi 29k, ps.gz 71k, pdf.gz 125k, pdf 168k



• 14. Kirill Zainoulline: On Grothendieck's Conjecture about Principal Homogeneous Spaces for Some Classical Algebraic Groups (30 p.)
• (1999, July 18) Abstract 2k, dvi.gz 57k, dvi 147k, ps.gz 158k, pdf.gz 298k, pdf 364k



• 13. S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi, M. G. Mahmudi: Maximal Subgroups of $GL_1(D)$ (13 p.)
• (1999, July 13) Abstract 2k, dvi.gz 21k, dvi 49k, ps.gz 75k, pdf.gz 128k, pdf 164k



• 12. Paul Balmer: Triangular Witt groups. Part II: From usual to derived (20 p.)
• (1999, July 5) Abstract 1k, dvi.gz 65k, dvi 166k, ps.gz 142k, pdf.gz 294k, pdf 363k



• 11. Joerg Winkelmann: Generic subgroups of Lie Groups (23 p.)
• (1999, May 11) Abstract 1k, dvi.gz 35k, dvi 87k, ps.gz 132k, pdf.gz 241k, pdf 309k



• 10. R. Skip Garibaldi: Groups of type E_7 over arbitrary fields (18 p.)
• (1999, Apr. 25; published in Comm. Alg. 29 (2001), 2689-2710)
• Abstract 2k, dvi.gz 36k, dvi 82k, ps.gz 122k, pdf.gz 238k, pdf 304k



• 9. R. Skip Garibaldi: Structurable algebras and groups of type $E_6$ and $E_7$ (41 p.)
• (1999, Apr. 25)
• (Upon request by the author, this manuscript was removed from the server. Published in J. Algebra 236 (2001), 651-691.)



• 8. D.W. Lewis and J.-P. Tignol: Classification theorems for central simple algebras with involution, with an appendix by R. Parimala (15 p.)
• (1999, Apr. 21) Abstract 2k, dvi.gz 33k, dvi 86k, ps.gz 72k, pdf.gz 331k, pdf 396k



• 7. Arjeh M. Cohen, Anja Steinbach, Rosane Ushirobira, David Wales: Lie algebras generated by extremal elements (28 p.)
• (1999, Mar. 29) Abstract 2k, dvi.gz 57k, dvi 149k, ps.gz 149k, pdf.gz 299k, pdf 371k



• 6. Tuong Ton-That: Reciprocity theorems for holomorphic representations of some infinite-dimensional groups (26 p.)
• (1999, Mar. 25) Abstract 4k, dvi.gz 64k, dvi 168k, ps.gz 116k, pdf.gz 423k, pdf 520k



• 5. Paul Balmer: Triangular Witt groups. Part I: The 12-term localization exact sequence (44 p.)
• (1999, Mar. 23; modified: 1999, May 10 and Oct. 27) Abstract 2k, dvi.gz 105k, dvi 277k, ps.gz 198k, pdf.gz 408k, pdf 503k



• 4. Anne Cortella and Boris Kunyavskii: On a conjecture of Le Bruyn (4 p.)
• (1998, Aug. 26) Abstract 1k, dvi.gz 9k, dvi 16k, ps.gz 35k, pdf.gz 116k, pdf 162k



• 3. A. R. Wadsworth and Y.-S. Hwang: Valued Division Algebras and Graded Division Algebras (37 p.)
• (Some diagram may be incomplete in the dvi version.)
• (1998, Aug. 22) Abstract 2k, dvi.gz 81k, dvi 195k, ps.gz 192k, pdf.gz 206k, pdf 260k



• 2. Y.-S. Hwang and A. R. Wadsworth: Algebraic Extensions of Graded and Valued Fields (29 p.)
• (1998, Aug. 22) Abstract 3k, dvi.gz 1k, dvi 86k, ps.gz 109k, pdf.gz 207k, pdf 263k



• 1. Genady Margolin, Ulf Rehmann, Vyacheslav Yanchevskii: Generation of the 2-Torsion Part of the Brauer Group of a Local Quintic by Quaternion Algebras (74 p.)
• (1997, Dec. 15) Abstract 2k, dvi.gz 135k, dvi 483k, ps.gz 372k, pdf.gz 566k, pdf 655k

"§"
wikipedia
Formelsammlung - Algebra

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Algebra.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Grundrechenarten
• 2 Arithmetische Notation
• 3 Axiome
• 4 Prozentrechnung
• 4.1 Grundgleichung
• 4.2 Vermehrter Grundwert
• 4.3 Verminderter Grundwert
• 4.4 Prozentsätze häufig benutzter Anteile
• 5 Elementare Funktionen
• 5.1 Potenz
• 5.1.1 Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten
• 5.1.2 Potenzfunktion mit gebrochenen Exponenten (Wurzelfunktion)
• 5.2 Wurzeln
• 5.3 Logarithmus
• 5.3.1 Logarithmusfunktion
• 5.3.2 Exponentialfunktion
• 6 Betragsfunktion, Signum, Gaußklammer
• 7 Termumformungen
• 8 Grundlegende Funktionen
• 8.1 Definition
• 8.2 Gerade Funktion
• 8.3 Ungerade Funktion
• 9 Lineare Funktion
• 10 Lineares Gleichungssystem
• 10.1 Homogenes und Inhomogenes System
• 10.2 Gleichsetzungsverfahren
• 10.3 Additionsverfahren
• 10.4 Einsetzungsverfahren
• 11 Quadratische Gleichung
• 12 Gleichung n-ten Grades
• 13 Polynom n-ten Grades
• 13.1 Polynomdivision
• 13.2 Horner-Schema
• 14 Mittelwerte
• 15 Komplexe Zahl
• 15.1 Definition
• 15.2 Potenzen der Einheit
• 15.3 Komplexe Konjugation
• 15.4 Grundrechenarten
• 15.5 Polarform und Exponentialform
• 15.6 Umrechnungsformeln
• 15.7 Sinus und Cosinus in komplexer Darstellung
• 16 Vollständige Induktion
• 17 Kombinatorik
• 17.1 Fakultät
• 17.2 Binomialkoeffizient („n über k“)
• 18 Stirlingformel
• 19 Summenformeln
• 19.1 Rechenregeln
• 19.2 Arithmetische Reihe
• 19.3 Potenzsummen
• 19.3.1 konstanter Exponent
• 19.3.2 konstante Basis (geometrische Reihe)
• 19.4 Harmonische Reihe
• 19.5 Reihen mit Binomialkoeffizienten
• 20 Zinsrechnung
• 20.1 Einfache Zinsrechnung
• 20.2 Zinseszins
• 20.3 Rentenrechnung
• 20.4 Rentenrechnung (Nachschüssige Rentenzahlungen)
• 20.5 Rentenrechnung (Vorschüssige Rentenzahlungen)
• 20.6 Abschreibung
• 20.7 Sparkassenformel

...

"§"
Wurzeln ziehen (W3)

Wurzeln ziehen - Zuornungsübung

Warum wir Wurzeln ziehen
Raul Rojas 31.08.2013

Lösungen von Polynomgleichungen als "Wurzeln" des Polynoms zu bezeichnen, hat mit einer der bizarrsten Fehlübersetzungen der mathematischen Geschichte zu tun.

Auf Deutsch ziehen wir "Quadratwurzeln". Auf Englisch redet man von "square root extraction". Auf Spanisch benutzt man eine wörtliche Übersetzung: "extraer la raiz cuadrada". Woher kommt diese Redewendung und was haben Gleichungen mit der Pflanzenwelt zu tun?

Das "Haus der Weisheit" in Bagdad kamen wähend der Blütezeit des Islam viele islamische Gelehrte zusammen. Bild: Zereshk/public domain

Der Ausdruck "Quadratwurzel ziehen" und Lösungen von Polynomgleichungen als "Wurzeln" des Polynoms zu bezeichnen, hat mit einer der bizarrsten Fehlübersetzungen der mathematischen Geschichte zu tun. Manche Worte und Symbole (man denke an unsere heutigen arabischen Ziffern) fanden ihren Eingang in die mathematische Sprache Europas über Entlehnungen aus arabischen mathematischen Werken. Es war die Geburtsstunde der Algebra und auch von gewissen Missverständnissen.

Bei der Entstehung der Algebra identifiziert man drei verschiedene Epochen: Bei Babyloniern und Ägyptern wurden mathematische Probleme einfach sprachlich formuliert und es gab normalerweise kein ausgezeichnetes Wort für die gesuchte Lösung (oder unbekannte Variablen, wie wir heute sagen würden). Auf diese "rhetorische Algebra" folgte ein "annotiertes" System, bei dem spezielle Marken oder Buchstaben die rhetorische Formulierung anreicherten. Schließlich entstand die durchdachte Lehre von Symbolen und abstrakten Transformationsregeln, die wir heute kennen.

Am Anfang dieser Entwicklung haben Mathematiker aus dem persischen, indischen und arabischen Kulturraum wesentliche Beiträge geleistet. Selbst der Ausdruck "Algebra" ist arabischen Ursprungs. Er wurde von Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi in einem mathematischen Kompendium des Jahres 820 verwendet.

Das Wort Algebra

Zwischen den Jahren 800 bis 1300 wurden die Araber zu Erben der Wissenschaft und Technologie der Ägypter, Babylonier, Griechen und Römer. Alle Arten von wissenschaftlichen Schriften wurden in Bagdad, dem Zentrum des arabischen Imperiums ab dem neunten Jahrhundert, gesammelt und übersetzt. Das Bait al-Hikma (Haus der Weisheit) in Bagdad wurde zum Think-Tank des Kalifats. Es war der Sammelplatz für die bedeutendsten Gelehrten jener Zeit.

Al-Khwarizmi wirkte auch im Haus der Weisheit. Bereits zu Lebzeiten war sein Ruhm legendär - er galt als Euklid und Diophant der arabischen Welt. Geboren in der Region zwischen Persien und Usbekistan, war Al-Khwarizmi ein Universallgelehrter. Er popularisierte zusammen mit anderen Mathematikern die indischen Ziffern und schrieb didaktische Erläuterungen über algebraische Verfahren. Selbst sein Name, Al-Khwarizmi, verwandelte sich mit der Zeit in unseren "Algorithmus".

Das bekannteste Buch von Al-Khwarizmi trug den Titel "Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala", was als "Kompendium von Rechnungen durch Ergänzung und Ausgleichen" übersetzt werden könnte. Das Buch war eine Art "Benutzerhandbuch" für die Lösung von mathematischen Problemen. Das Wort "Al-Jabr" im Titel übersetzen viele als "ergänzen". Die erste lateinische Fassung des Werkes (1145) wurde "Liber algebrae et almucabala" genannt, womit das Wort "Algebra" in das europäische Vokabular eintrat.

Jedoch haben vor mehr als 80 Jahren Solomon Gandz und Otto Neugebauer gezeigt, dass die oben erwähnte Deutung von "Algebra" nicht zutreffend ist. Babylonier und Ägypter hatten Jahrhunderte früher die grundlegenden Ausgleich-Techniken entwickelt, um Gleichungen mit einer Variablen lösen zu können.

Gandz und Neugebauer konnten Al-Khwarizmis Quellen auf die Babylonier, Assyrer und Sumerer zurückverfolgen. "Gabru-maharu" bedeutet in Assyrisch Entgegensetzen oder Gleichsein. Die Araber übernahmen die mathematische Technik aber auch die Phonetik des Wortes und daraus wurde das entlehnte Wort "al-jabr", das mit dem arabischen Wort "al-muqabala" identifiziert wurde. Gandz folgerte daraus, dass der Titel "Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala" knapp als "Wissenschaft der Gleichungen" übersetzt werden könnte. Doppelt hält besser - und so bezeichnen im Titel "al-jabr" und "al-muqabala" eigentlich Gleichungen, einmal auf Assyrisch, ein andermal auf Arabisch.

Die Fehlübersetzung

Bevor jedoch die Araber die mathematische Stafette übernahmen, mussten sie sich mit den geistreichen griechischen Mathematikern auseinandersetzen. Die Griechen hatten eine Vorliebe für geometrische Beweise, da diese recht anschaulich für "das Auge" durchgeführt werden können.

Die mathematischen Probleme jener Zeit wurden so zu Konstruktionen mit Lineal und Zirkel reduziert. Will man z.B. die Quadratwurzel von 2 geometrisch finden, zeichnet man ein Quadrat mit Kantenlänge Eins. Die Diagonale des Quadrats hat dann die gewünschte Länge. Für Addition, Subtraktion und sogar Multiplikation und Teilung von Segmentlängen gibt es die entsprechenden geometrischen Methoden. Dass man viele dieser geometrischen Größen dann nicht mehr als einfache Brüche schreiben konnte, war ein computational Betriebsunfall, den die Pythagoreer aufdeckten. Das Aufspüren der irrationalen Zahlen war für sie so bedeutsam, dass sie den Göttern eine Hekatombe (hundert geschlachtete Rinder) dargebracht haben. "Seitdem zittern die Ochsen, sooft eine neue Wahrheit an das Licht kommt", wusste Ludwig Börne zu erdichten.

Aber nun: Die arabischen Mathematiker (darunter auch al-Khwarizmi in Bagdad) benutzten zwei Worte für die unbekannte Größe in einem Problem: "mal" und "jidr". Das erste Wort wurde für das Quadrat der Unbekannten verwendet, das zweite für die unbekannte Größe selbst.

Die Araber wollten die algebraischen Gleichungen lösen, die die Griechen auf geometrische Art bewältigt hatten. Für die Griechen war die "Seite" bzw. "Kante" einer geometrischen Konstruktion die zu suchende Größe, die "pleura" in ihrer Sprache. Die islamischen Mathematiker übersetzten "pleura" als "jidr", weil dieses Wort "Basis" bzw. "unterster Teil" bedeutet, jedoch bei Pflanzen die "Wurzel" bezeichnet. Als dann die ersten europäischen Mathematiker das Wort "jidr" übersetzten, verwandelten sie es in das lateinische "radix" (wie "Radischen"), das Wort für "Wurzel", ein folgenreicher Fehler.

Unter anderem popularisierten die Übersetzer Johannes Hispaniensis in Sevilla, Gerhard von Cremona in Toledo, und Leonardo di Pisa (besser bekannt als Fibonacci) in Italien die Bezeichnung "Wurzel" und diese wurde zum geflügelten Wort. Kapitel 14 von Fibonaccis "Liber Abaci" (von 1202) trug z.B. diesen Titel: "De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ..." (Vom Auffinden von Quadrat- und Kubikwurzeln).

Ab dann wurde das Wort "Wurzel" sowohl für die Lösung von quadratischen Gleichungen, als auch für die Lösung von beliebigen algebraischen Gleichungen verwendet. Im ersten Fall wurde die Lösung eine "Quadratwurzel", im zweiten einfach die "Wurzel" der Gleichung.

Nicht alle Mathematiker begingen den Fehler. Der große Algebraiker François Viète in Frankreich und andere mehr übersetzten direkt aus den griechischen Originalen und verwendeten deswegen das Wort "latus" ("Seite") für die Unbekannte. Die alternative Terminologie hatte sich aber schon längst in Europa durchgesetzt. Seitdem treibt das "Wurzelfinden" dem Schüler den Schweiß auf die Stirn - eine spannende Geschichte, die würdig wäre, von Scheherazade in der Tausend und Zweiten Nacht erzählt worden zu sein.

"§"
Alten, Heinz-Wilhelm
Djafari-Nanini, Alireza
Folkerts, Menso
Schlosser, Hartmut
Schlote, Karl-Heinz
Wußing, Hans (Autoren)
4000 Jahre Algebra
Geschichte, Kulturen, Menschen

"Schon in prahistorischer Zeit entwickelten Menschen erste Vorstellungen von Zahl und Form, begannen mit dem Zahlen und unterschieden dabei nur ein, zwei und viele Dinge..." (mehr)

Kurzbeschreibung
Renommierte Mathematik-Historiker verbinden die Ursprünge und die Entwicklung der Algebra mit historischen Ereignissen und menschlichen Schicksalen. Der Spannungsbogen reicht von den Frühformen des Rechnens zur Lösung einfacher Gleichungen bis hin zu den genialen Ideen des jungen Galois und den berühmten Beweisen des Fundamentalsatzes der Algebra durch C.F. Gauß. Die Wandlung der Algebra von der Gleichungslehre zur Theorie algebraischer Strukturen wird ebenso beschrieben, wie die völlig neuen Akzente, die die moderne Computeralgebra gesetzt hat.

"§"
Beutelspacher, Albrecht
Zahlen, Formeln, Gleichungen
Algebra für Studium und Unterricht

Buch | Softcover, XIII, 380 Seiten, 2018, Springer Spektrum (Verlag), 978-3-658-16105-7 (ISBN)

• Gut verständlich, anschaulich und motivierend geschrieben im bekannten Stil von Beutelspacher
• Behutsame, aber zielführende Einführung, die auf den Lehrerberuf zielt
• Das Buch setzt durchgängig bei der Schulalgebra an und knüpft dieses Netz des Wissens weiter
• Führt die Leser von alltäglichen Erfahrungen zu Höhen der Mathematik
• Besonders für Lehramtsstudierende der Mathematik: für gemeinsame Ausbildung Sek. I und Sek. II (HR und Gym)

Das Buch ist eine gut lesbare und verständliche Einführung in die Algebra, die die künftigen Lehrerinnen und Lehrer ernst nimmt.

Das bezieht sich sowohl auf die Auswahl der Themen als auch auf die Methode. An vielen Stellen wird auf historische Wurzeln und didaktische Fragen hingewiesen; moderne Anwendungen werden ausführlich behandelt.

Durch die zahlreichen in den Text integrierten Übungsaufgaben erarbeitet man den Inhalt der Definitionen, Sätze und Beweise schon exemplarisch vorab.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Die natürlichen und die ganzen Zahlen ....................... 1
• 1.1 Die Pythagoreer ................................... 1
• 1.2 Figurierte Zahlen .................................. 4
• 1.3 Dreieckszahlen .................................... 9
• 1.4 Teilbarkeit ....................................... 13
• 1.5 Der ggT ........................................ 16
• 1.6 Primzahlen ...................................... 25
• 1.7 Die Peano-Axiome ................................. 35
• 1.8 Die ganzen Zahlen .................................. 40
• Literatur ........................................... 47
• 2 Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln ..................... 49
• 2.1 Frühe Zahlendarstellungen ............................. 49
• 2.2 Rechnen auf den Linien: Abakus, Rechentisch, Rechentuch ........ 53
• 2.3 Stellenwertsysteme ................................. 56
• 2.4 Rechnen mit Stellenwertsystemen ........................ 64
• 2.5 Teilbarkeitsregeln .................................. 70
• 2.6 Quersummenregeln ................................. 73
• Literatur ........................................... 80
• 3 Rechnen mit Resten .................................... 81
• 3.1 Reste .......................................... 82
• 3.2 Restklassen ...................................... 93
• 3.3 Multiplikation von Restklassen .......................... 98
• 3.4 Der chinesische Restsatz ..............................100
• 3.5 Die Sätze von Fermat und Euler .........................106
• 3.6 Public-Key-Kryptographie .............................115
• Literatur ...........................................121
• 4 Rationale Zahlen .....................................123
• 4.1 Konstruktion der rationalen Zahlen .......................124
• 4.2 Rechnen mit rationalen Zahlen ..........................129
• 4.3 Kleiner und größer .................................135
• 4.4 Anwendung: Gleichungen .............................142
• 4.5 Variable, Terme, Gleichungen ...........................144
• 4.6 Lineare Gleichungssysteme ............................148
• Literatur ...........................................154
• 5 Irrationale Zahlen.....................................155
• 5.1 Die erste irrationale Zahl ..............................156
• 5.2 Viele irrationale Zahlen ...............................160
• 5.3 Dezimalbrüche ....................................168
• 5.4 Dezimalbrüche und rationale Zahlen ......................172
• 5.5 Anwendung: Lösung von quadratischen Gleichungen ............178
• Literatur ...........................................184
• 6 Polynome ..........................................185
• 6.1 De?nition .......................................185
• 6.2 Multiplikation von Polynomen ..........................191
• 6.3 Nullstellen .......................................197
• 6.4 Irreduzible Polynome ................................202
• 6.5 Polynome als Bausteine für Körper .......................208
• 6.6 Endliche Körper ...................................213
• Literatur ...........................................219
• 7 Algebraische Zahlen ...................................221
• 7.1 Algebraische Zahlen ................................221
• 7.2 Adjunktion einer Zahl ...............................225
• 7.3 Der Grad einer Körpererweiterung ........................229
• 7.4 Algebraische Erweiterungen............................233
• 7.5 Konstruierbare Zahlen ...............................235
• 7.6 Transzendente Zahlen ................................248
• Literatur ...........................................258
• 8 Gruppen ...........................................259
• 8.1 Ein erster Eindruck .................................259
• 8.2 Die De?nition ....................................271
• 8.3 Endliche Gruppen ..................................276
• 8.4 Zyklische Gruppen .................................285
• 8.5 Faktorgruppen ....................................289
• 8.6 Fehlererkennende Codes ..............................292
• 8.7 Fehler an zwei Stellen ...............................297
• Literatur ...........................................306
• 9 Gleichungen.........................................307
• 9.1 Komplexe Zahlen ..................................307
• 9.2 Nullstellen .......................................312
• 9.3 Die Gleichung dritten Grades ...........................320
• 9.4 Elementarsymmetrische Polynome........................327
• 9.5 Au?ösbarkeit von Gleichungen ..........................329
• Literatur ...........................................335
• 10 Hinweise zur Lösung der Aufgaben .........................337
• 10.1 Kapitel 1 ........................................337
• 10.2 Kapitel 2 ........................................342
• 10.3 Kapitel 3 ........................................346
• 10.4 Kapitel 4 ........................................349
• 10.5 Kapitel 5 ........................................352
• 10.6 Kapitel 6 ........................................355
• 10.7 Kapitel 7 ........................................360
• 10.8 Kapitel 8 ........................................364
• 10.9 Kapitel 9 ........................................371
• Personen- und Sachverzeichnis ................................375

• Front Matter
• Die natürlichen und die ganzen Zahlen
• Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln
• Rechnen mit Resten
• Rationale Zahlen
• Irrationale Zahlen
• Polynome
• Algebraische Zahlen
• Gruppen
• Gleichungen
• Hinweise zur Lösung der Aufgaben
• Back Matter

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Bewersdorff, Jörg (Autor)
Algebra für Einsteiger
Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie

Werbetext
Galois-Theorie: Warum kompliziert, wenn's einfach geht?

"§"
Karpfinger, Christian (Autor)
Meyberg, Kurt (Autor)
Algebra: Gruppen - Ringe - Körper

Kurzbeschreibung
Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingeführt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausführlich erklärt und an Beispielen erprobt. Der Leser erhält dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der Website zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

"§"
Plaue, Matthias (Autor)
Scherfner, Mike (Autor)
Mathematik für das Bachelorstudium I
Grundlagen, lineare Algebra und Analysis

Rezension

Handlich, verständlich, übersichtlich und prägnant - genau so muss ein Buch für das 1. Semester Bachelorstudium sein! Prof. Dr. Carsten Trunk, TU Ilmenau.

Ein Buch, das Ideen und Prinzipien erläutert. Geeignet für diejenigen, die Probleme mit dem strengen Prinzip "Definition - Satz - Beweis" haben. Prof. Dr. Matthias Bollhöfer, TU Braunschweig

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Sterling, Mary Jane (Autor)
Steffen, Eva (Übersetzer)
Algebra für Dummies

Kurzbeschreibung
Da glaubt man, nach der Schule wäre man Mathematik und Algebra entkommen, und dann hatte der Lehrer, der immer behauptete, dass man in der Schule fürs Leben lerne, doch Recht. »Algebra für Dummies« hilft allen, bei denen die Mathematik unversehens wieder ins Leben zurückgekehrt ist, sei es nun am Arbeitsplatz, bei einer Weiterbildung oder an der Universität. Wem Brüche, Exponenten und Kurvendiskussionen die Haare zu Berge stehen lassen und Terme auch in Papierform den Schweiß auf die Stirn treiben, dem hilft dieses Buch auf einfache und humorvolle Art und Weise.

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Sterling, Mary Jane (Autor)
Algebra II für Dummies

Kurzbeschreibung
Da glaubt man, man hätte die Mathematik hinter sich, und dann hatte der Lehrer, der immer behauptete, dass man in der Schule fürs Leben lerne, doch Recht. "Algebra II für Dummies" hilft allen, bei denen die Mathematik unversehens wieder ins Leben zurückgekehrt ist, sei es nun am Arbeitsplatz, bei einer Weiterbildung oder an der Universität. Wem Brüche, Exponenten und Kurvendiskussionen die Haare zu Berge stehen lassen und Terme auch in Papierform den Schweiß auf die Stirn treiben, dem hilft dieses Buch auf einfache und humorvolle Art und Weise.

Über den Autor
Mary Jane Sterling ist Dozentin für Mathematik an der Bradley University und Autorin zahlreicher "...für Dummies"-Bücher

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Sterling, Mary Jane (Autor)
Muhr, Judith (Übersetzer)
Grundlagen der Linearen Algebra für Dummies

Kurzbeschreibung
Für so manchen Zeitgenossen ist das Land Mathematien wüst und grau und der Weg, die Lineare Algebra zu verstehen, ist besonders stolpersteinig und öd. Aber haben Sie erst einmal die Grundlagen verstanden, ist der Rest nur noch halb so schwer. Mary Jane Sterling hilft Ihnen in diesem Buch auf die Sprünge. Sie erklärt Ihnen, wie Sie mit Vektoren rechnen, die Matrizenalgebra meistern, Linearkombinationen in ihre Schranken weisen, sich behende im Vektorraum bewegen, Eigenwert und Eigenvektor zu guten Freunden machen und vieles mehr. Stellen Sie mit diesem Buch Ihre Kenntnisse der Linearen Algebra auf eine solide Grundlage.

Über den Autor
Mary Jane Sterling ist Dozentin für Mathematik und Autorin von "Algebra für Dummies" und "Lineare Algebra für Dummies".

"§"
Stroth, Gernot (Autor)
Elementare Algebra und Zahlentheorie
(Mathematik Kompakt)

Buchrückseite
Dieses Buch behandelt die Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie. Zentrale Begriffe sind Primelemente und irreduzible Elemente. Ausgehend vom Aufbau einer Arithmetik in Hauptidealringen und insbesondere euklidischen Ringen sind die zentralen Themen zum einen irreduzible Polynome, zum anderen Primzahlen. Dies führt zu den algebraischen Körpererweiterungen und zu Fragen nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Nach einem längeren Ausflug in die Gruppentheorie bis zum Sylow-Satz und den auflösbaren Gruppen wird die Idee der Galoistheorie exemplarisch an der Frage der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen behandelt. Zentrale Begriffe der Zahlentheorie sind die Primzahlen. Behandelt werden die Verteilung von Primzahlen, Primzahlformeln, Carmichaelzahlen, Kongruenzen, der Chinesische Restsatz und quadratische Reste bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.

Eine kompakte Einführung fürs Studium und für anspruchsvolle Mathematikfreunde

Inhalt:

• 1. Arithmetik
• 2. Körper
• 3. Endliche Körper
• 4. Primzahlen
• 5. Gruppen
• 6. Symmetrien
• 7. Konstruktion mit Zirkel und Lineal
• 8. Summe von Quadraten
• 9. Das quadratische Reziprozitätsgesetz

Der Autor Gernot Stroth ist seit 1994 Professor für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle.

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Tropfke, Johannes (Autor)
Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung
Rechnen Und Algebra

Kurzbeschreibung
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Waerden, Bartel Leendert Van Der (Autor)
Algebra I+II. Siebte und fünfte Auflage der Modernen Algebra

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Wihler, Thomas (Autor)
Mathematik für Naturwissenschaften
Einführung in die Lineare Algebra

Kurzbeschreibung
Ziel dieses Buches ist die angewandte Einführung in die Grundthemen der Linearen Algebra für Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Schwerpunkte bilden die Matrizenrechnung (lineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme), Vektorräume und lineare Abbildungen sowie die Methode der kleinsten Quadrate (mit Anwendung auf diskrete Fouriertheorie). Außerdem bietet der Text einen Einblick in den Einsatz numerischer Software zur Behandlung von komplexeren Berechnungen. Sowohl bei der Entwicklung der mathematischen Konzepte als auch in den zahlreichen Übungen wird auf eine anwendungsbezogene Heranführung an die Themen geachtet.

Inhaltsverzeichnis

• 1.Vorwort
• 2.Lineare Gleichungssysteme
• 3.Vektorräume
• 4.Kleinste Quadrate und diskrete Fouriertransformation
• 5.Lineare Abbildungen
• 6.Eigenwertprobleme
• 7.Kurzeinführung in MATLAB und OCTAVE

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Wüstholz, Gisbert
Algebra
Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der Text kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln.

2013, 2, 256 Seiten, 7 Schwarz-Weiß-Abbildungen, Maße: 14,8 x 24,1 cm, Kartoniert (TB), Deutsch, Verlag: Vieweg+Teubner, ISBN-10: 3834819611, ISBN-13: 9783834819611