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Mathematik, Matemáticas, Mathématiques, Matematica, Mathematics, (esper.) matematiko
Angewandte Mathematik, Matemáticas aplicadas, Mathématiques appliquées, Matematica applicata, Applied mathematics
Geschichte der Mathematik, Historia de la matemática, Histoire des mathématiques, Storia della matematica, History of mathematics
Philosophie der Mathematik, Filosofía de la matemática, Philosophie des mathématiques, Filosofia della matematica, Philosophy of mathematics

ethz - Prozentrechnen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen

Euler e (W3)

e^{i*pi} + 1 = 0

zum 300. Geburtstag von Leonhard Euler

Am 15. April 1707 wurde "Leonhard Euler" im schweizerischen Basel geboren. Mathematiker wie Henri Poincaré feierten ihn als "Gott der Mathematik".

Viele heute noch gebräuchliche mathematische Symbole gehen auf sein umfangreiches Werk mit über 800 Titeln zurück.

Er begründete die Graphentheorie und die Topologie und etablierte den Zweig der angewandten Mathematik mit Berechnungen zur Statik, dem Verhalten von Flüssigkeiten und Wahrscheinlichkeitsberechnungen für Versicherungen und Lotteriegesellschaften.
...
Im heutigen Sprachgebrauch ist Euler vor allem wegen der ihm zu Ehren so benannten "Eulerschen Zahl" "e" bekannt.
Mitunter wird er aufgrund der "Euler'schen Quadrate" auch zum "Vater des Sudoku" erklärt.
Die Computerwissenschaften ehrten den großen Mathematiker mit der mathematischen Experimentiersprache "Euler".
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Und noch auf eine andere Art hat Euler "e" geadelt: Er hat mit der Zahl "e" nämlich die wohl schönste mathematische Gleichung aufgestellt: e^(i*π) + 1 = 0. Man braucht gar nicht ausführlich auf die praktische Bedeutung der Gleichung einzugehen (die tatsächlich der Differentialrechnung den komplexen Raum und damit eine Unmenge neuer Anwendungen eröffnet hat), um eine Ahnung zu bekommen von der Begeisterung der MathematikerInnen für diese Formel. Sie verbindet auf einfachste Art die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik (die drei Einheiten 0, 1 und i [die Wurzel aus -1], dazu pi und e), ebenso wie die drei wichtigsten mathematischen Operationen: die Addition, die Multiplikation und die Potenz. Und alles das fügt sie mit einem einfachen Gleichheitszeichen zusammen.
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Die Top Ten der schonsten mathematischen Satze:

1. e**iπ + 1 = 0

Ein Spezialfall der Eulerschen Formel (nach Leonhard Euler, 1707-1783), der die wohl wichtigsten Konstanten der Analysis in einen Zusammenhang bringt: die Eulersche Zahl e = 2,718282, die Kreiszahl π = 3,141593, die imaginare Einheit i = "Wurzel aus -1" sowie 0 und 1.

2. e-k+f=2

Nochmals Euler: seine Polyederformel gilt fur alle konvexen Polyeder mit e Eckpunkten, k Kanten und f Seitenflächen. Ein Polyeder (Vielflach) ist dabei ein dreidimensionaler Körper, der durch endlich viele ebene Flächenstücke begrenzt wird; ein solches Polyeder heißt konvex, wenn die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte im Polyeder ebenfalls ganz im Polyeder liegt. Die Formel ist übrigens leicht am Würfel nachzuvollziehen: Er besteht aus 8 Eckpunkten, 12 Kanten und 6 Seitenflächen.
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1 + e**iπ = 0

(Diese Gleichung ist ein heißer Anwärter auf den Titel der schönsten Gleichung der Mathematik; es treten genau die wichtigsten Zahlen und die wichtigsten Operationen auf und sonst nichts.)

Nach Euler Benanntes

• Euler-Bernoulli-Gleichung, Differentialgleichung vierter Ordnung, die der Kontinuumsmechanik des Balkens zugrunde liegt
• Euler-Charakteristik
• Euler-Eytelwein-Formel, Formel für Seilhaftung
• Euler-Hierholzer-Satz
• Euler-Mascheroni-Konstante ?=0.5772...
• Euler-Maruyama-Verfahren zur Lösung von stochastischen Differentialgleichungen
• Eulersche Bewegungsgleichung (oder Euler-Gleichung), Grundgleichung der Hydrodynamik idealer (reibungsfreier) Flüssigkeiten
• Eulersche Kreiselgleichungen
• Eulersche Differentialgleichung
• Eulersche Formel (Flächenkrümmung)
• Eulersche Formeln (harmonische Analyse)
• Eulersche f-Funktion in der Zahlentheorie: f(m) = Anzahl der zu m teilerfremden ganzen Zahlen a mit
• Eulersche Identität, ein Spezialfall der Eulerschen Relation: eip+1=0. (auch Eulersche Relation: exp(iz) = cos z + i sin z)
• Eulersche Konstante siehe Euler-Mascheroni-Konstante (nicht zu verwechseln mit der Eulerschen Zahl).
• Eulersche Last in der Balkentheorie die minimale axiale Last, die nötig ist, um eine Verbiegung zu bewirken
• Eulersche Linie (auch "Eulertour" oder "Eulerkreis") in der Graphentheorie: ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen enthält
• Euler-Maclaurin-Formel
• Euler-Produkt
• die Euler-Wiege, eine kardanische Aufhängung, die in allen drei Eulerschen Winkeln drehbar ist
• Eulersche Gerade: die Verbindungsgerade von Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
• Eulersche Winkel
• Eulersche Zahl e=exp(1)=2,71828...
• Eulersche Zahlen verwandt mit den Bernoullischen Zahlen, treten als Taylor-Koeffizienten von sec x auf
• Eulerscher Polyedersatz
• Eulersches Integral erster und zweiter Gattung
• Eulersches Polygonzugverfahren (Integrationsverfahren für Differenzialgleichungen)
• Eulersche Turbinengleichung als Grundlage für die Kraftmaschine der modernen Stromerzeugung
• Eulersche Vermutung
• Weiterhin sind zu seinen Ehren ein Mondkrater (der Krater Euler) und der Asteroid (2002) Euler benannt. Auch ein Programm für numerische und symbolische Berechnungen trägt seinen Namen: Euler (Software).

Vor dreihundert Jahren wurde einer der grössten Wissenschaftler der Schweiz geboren: der Mathematiker Leonhard Euler. Nach ihm benannt ist eine spezielle Zahl: "e" oder 2,718 281 828 450 945 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 ...
...
Heute weiss man, dass es mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Dass also, wenn man alle rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden verteilt, zwischen den schon besetzten Bereichen noch immer beliebig viele Löcher verblei-ben. In einem ebensolchen Loch hielt sich auch e verborgen, bis die Zahl im siebzehnten Jahrhundert plötzlich auf den Schreibtisch eines Bankangestellten in vielleicht Venedig kullerte, so genau lässt sich das nicht mehr nachvollziehen. Den ersten Auftritt hatte e auf einem durchaus prosaischen Feld, nämlich demjenigen der Zinseszinskalkulation. Es gibt da die Frage, ob es dem oder der AnlegerIn gegenüber fair ist, dass man den zu verzinsenden Zins das ganze Jahr über unter Verschluss hält und ihn erst für die nächste Runde rausrückt. Man könnte ihn ja auch monatlich aufs Konto schlagen (dann würde er schon für den Rest des Jahres für einen arbeiten) oder täglich, oder sogar jede Sekunde, oder, im mathematischen Grenzfall, kontinuierlich. Als der theoretisch versierte Banker diesen Grenzfall mathematisch ausdrückte, stiess er eben auf die berühmte Formel, die später als Definition für e dienen sollte. Und gleichzeitig liefert dieser Ursprung auch die wohl handlichste, wenn auch immer noch sperrige Veranschaulichung für die Eulersche Zahl: Wenn ein Kapital von einem Franken zu einem Zins von hundert Prozent angelegt und der Zins kontinuierlich verrechnet wird, dann erhält man am Ende eines Jahres ein Kapital von e Franken (statt zwei Franken wie bei einer jährlichen Verzinsung).

Solche Ausdrücke, die einem Grenzwert zustreben, sind oft für Überraschungen gut. "e" ist, mathematisch gesprochen, gleich dem Grenzwert von (1 + 1/n)**n, wenn n gegen unendlich geht. Man könnte versucht sein, für ein unendlich grosses n die Klammer gleich 1 zu setzen, weil der Grenzwert von 1/n in diesem Falle gegen 0 geht, sodass der ganze Ausdruck 1n gleich 1 wäre. Man könnte aber genauso vermuten, dass in der Klammer stets ein Wert grösser als 1 steht und dass jede Zahl, die grösser als 1 ist, ins Unendliche wächst, wenn sie ewig weiterpotenziert wird. Man kann aber auch den Taschenrechner zur Hand nehmen und die Probe aufs Exempel machen, und man wird finden: Die Wahrheit liegt zwischen den Extremen; das Ergebnis strebt nämlich von 2 ( für n = 1 ) langsam, sehr langsam dem eher ungelenken Wert von 2,71828... zu.
...
Die "e-Funktion" ist die einzige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt.

Und das ist der Grund, weshalb einem das "e" bei fast jedem physikalischen Problem entgegenspringt: "e-Funktionen" bilden Grundlösungen für die mathematische Beschreibung aller möglichen natürlichen Vorgänge. Alles, was irgendwie schwingt, sich aufschaukelt oder sonstwie auf sich selbst zurückwirkt, ist ein Fall für e hoch x.
...
Ein schönes Beispiel ist das Auftauchen von "e" in einem Ausdruck, der die sogenannte Primzahldichte beschreibt (die Anzahl Primzahlen in einem bestimmten Intervall). Je mehr Zahlen man betrachtet, desto seltener tauchen Primzahlen auf. Doch scheint ihre Dichte im Unendlichen auf einen strikten Grenzwert zuzustreben - das jedenfalls hat geduldiges Auszählen ergeben, exakt hergeleitet hat diesen Grenzwert bis jetzt noch niemand. Dass in diesem Wert auch die Zahl "e" steckt, erstaunt die Mathematiker, denn Primzahlen gehören ja eigentlich dem ganzzahligen Reich an, und e zählt zu den halbsten Zahlen, die es überhaupt gibt: Mathematiker nennen Zahlen dieser Gattung ihrer mit klassischen Mitteln schwer zu fassenden Eigenschaften wegen "transzendent".
...
Euler hat die Zahl keineswegs entdeckt, auch war er nicht der Einzige, der ihre Bedeutung erkannt hat. Unstreitig ist einzig, dass die Bezeichnung "e" auf "Euler" zurückgeht wie übrigens auch das "i" für die "imaginäre Einheit" oder das griechische "S" ("Sigma") für die Bezeichnung einer "Summe".
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Es ist viel darüber geschrieben worden, weshalb Euler, nach dem "e" bis heute auch die "Eulersche Zahl" genannt wird, wohl ausgerechnet den Buchstaben "e" gewählt hat. Eitelkeit dürfte es kaum gewesen sein, viel wahrscheinlicher ist der Bezug auf die "Exponentialfunktion". Wer Euler aber wann die Ehre erwiesen hat, ihm mit der Benennung von "e" ein mathematisches Denkmal zu errichten, das haben die MathematikhistorikerInnen bislang noch nicht geklärt. Dass die Person, wer auch immer es war, den Namen aber zu Recht gewählt hat, daran gibt es keinen Zweifel.
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The works of Leonhard Euler online

The Euler Archive is an online resource for Leonhard Euler's original works and modern Euler scholarship. This dynamic library and database provides access to original publications, and references to available translations and current research.

The Archive is built around "E-pages." There is one of these pages for each of work written by Leonhard Euler (all 866 of them!).

Each page includes:

• The title of the work (and an English translation of the title)
• A summary of the work
• A description of where the work was originally published
• A description of where the work is published in the Opera Omnia
• A scanned pdf version of Euler's original publication
• A brief list of modern research papers which discuss or cite the work

Mathematik (W3)

Gegenstand der Mathematik (vom griech. "mathema" = "Wissenschaft", "Lernen") sind die mathematischen, d.h. axiomatischen Theorien, übrigens schon in der Antike. Da also Gegenstand und Methode bei ihr in dieser Weise in eins fallen, nimmt (und nahm) die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.
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Bedeutende Mathematiker

• Al-Khwarizmi (um 780 - um 850, Bagdad)
• Abel Niels (1802 -1829, Froland, Norwegen)
• Appolonios von Perge (262 - 190 v.Chr., Pergamon?)
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• Nash John (1928 - , West Virginia)
• Neper (Napier) John (1550 - 1617, Edinburgh)
• Neumann John von (1903 - 1957, Princeton)
• Newton Sir Isaac (1643 - 1727)
• Noether Emmy (1882 - 1935, USA)
• Pascal Blaise (1623 Clermond-Ferrand - 1662, Paris)
• Poincaré Henri (1854 - 1912, Paris)
• Poisson Siméon Denis (1781 - 1840, Paris)
• Pólya George (1887-1985)
• Pythagoras von Samos (um 580 - 496 v. Chr., Kroton)
• Ramanujan Srinivasa Iyengar (1887 - 1920, Indien)
• Riemann Bernhard (1826 - 1866, Selasca)
• Ries Adam (1492 - 1559, Annaberg)
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• Steiner Jakob (1796 - 1863, Bern)
• Stirling James (1696 - 1770, Leadhills)
• Stokes Sir George Gabriel (1819 - 1903)
• Taylor Brook (1685 - 1731, London)
• Thales von Milet (um 625 - 546 v. Chr.)
• Viète (Vieta) François (1540 - 1603, Paris)
• Waerden Bartel Leendert van (1903 - 1996)
• Weierstrass Karl (1815 - 1897, Berlin)
• Weyl Hermann (1885 - 1955, Zürich)
• Wronski Josef Maria (1775 - 1853, Paris)
• Zenon von Elea (um 490 - um 430 v.Chr.)

Anwendungen und Unterrichtshilfen der Mathematik

Analysis / Differentialrechnung / Integralrechnung

• Funktions-Plotter (Java-Applet von 'Mathe online', Uni Wien)
• Stetigkeit einer Funktion (lokal und global) (Theorie: pdf-Format)
• Definition der Ableitung (Java-Applet)
• Einseitige Ableitung (Java-Applet)
• Funktionsplotter mit 1. und 2. Ableitung (Java-Applet)
• Theorie und Tests zum Ableitungen erkennen
• (Java-Applets von der ausgezeichneten Site 'Mathe online')
• Projekt Kettenlinie (Java-Applet)
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und Folgerung für bestimmtes Integral (Theorie: pdf-Format)
• Numerische Integration (Theorie und Applet)
• Integrator von Wolfram Research (Mathematica)
• Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Binomialverteilung mit Histogramm
• Testen von Hypothesen mit Binomialverteilung (Java-Applet)
• Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung
• Hypergeometrische Verteilung mit Histogramm ? Zahlenlotto, Euromillions
• Berechnung der W'keiten beim Lotto Euromillions
• Simulation Ziehung CH-Zahlenlotto
• Simulation Ziehung Euromillions
• Jassen: Simulation Wahrscheinlichkeiten für Dreiblatt, Vierblatt usw.
• Zentraler Grenzwertsatz
• Axiome von Kolmogorow (und Herleitung des Additionssatzes)
• Puzzle 7: Teilnehmer an einem Fernsehquiz (Monty Hall- bzw. Ziegenproblem)
• Geburtstagsparadox (Geburtstagsproblem) und dazugehörige Simulation
• Anzahl Würfe bis alle Augen gewürfelt Simulation dieses Würfelproblems
• Buffon'sches Nadelproblem (Java-Applet)
• Berechnung von Pi mit Monte Carlo-Methode
• Lineare Regression - Korrelation (Theorie und Applet)
• Lineare multiple Regression - Korrelation

Algebra

• Satz von Vieta (und Umkehrung) (nur für quadratische Gleichungen)
• Quadratwurzelziehen von Hand
• Formeln von Cardano (Lösungen Gleichung dritten Grades)
• Achill und die Schildkröte (Paradoxon des Zenon)
• Hilbert Hotel (Illustration zur abzählbaren Unendlichkeit, wikipedia)

Geometrie / Trigonometrie

• Euler'sche Gerade (unter Verwendung des Geometry-Applet)
• Peripherie- und Zentriwinkel (Programm GeoNet mit 667 kB wird geladen)
• Zwei Konstruktionen: Ortsbogen (Fasskreis) 70°
• Kreis des Apollonius (Programm GeoNet mit 667 kB wird geladen)
• Satzgruppe des Pythagoras (Applet)
• Beweise der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras
• Berechnung von Pi aus Umfang n-Eck durch Eckenverdoppelung
• Möndchen des Hippokrates
• Bezier-Kurven
• Brennpunktsdefinitionen der Kegelschnitte (Programm GeoNet mit 667 kB wird geladen)
• Umfang einer Ellipse mit Näherungsformel von Ramanujan
• Archimedische Körper
• Definitionen der trig. Funktionen (Java-Applet)
• Zusammengesetzte Sinus- bzw. Cosinusfunktion (Java-Applet)
• Lissajou-Figuren (Java-Applet)
• Lissajou-Figuren mit Lissajous Lab (Java-Applet)
• Affine Abbildungen

Komplexe Zahlen / Komplexe Funktionen / Fraktale

• Theorie: Einführung in komplexe Zahlen (pdf-Format)
• Rechnen mit komplexen Zahlen (Java-Applet)
• Fraktale (Chaosspiel und deterministisch) (Java-Applet)
• Fraktal Sierpinski-Dreieck mittels speziellem Algorithmus (Java-Applet)
• Fraktale (Mandelbrotmenge und Julia-Mengen)
• Sierpinski Tetraeder (demonstriert gleichzeitig die Anwendung des Java-Applets LiveGraphics3d)
• Fraktale (Modul von Matheprisma der Uni Wuppertal; Sie verlassen die Site mathematik.ch)
• Komplexe Abbildungen (Applet von Heinz Klemenz, geosoft.ch; Sie verlassen die Site mathematik.ch)

Numerik

• Berechnung von Logarithmen
• Nullstelle nach Newton, mit allgemeiner Iteration und mit Intervallschachtelung (Java-Applet)
• Numerische Integration (Theorie und Applet)
• Differentialgleichungen nach Runge-Kutta (Theorie und Applet)
• Backtracking-Algorithmus zum Pentominos-Problem (Java-Applet)
• Backtracking-Algorithmus zum NxN Damenproblem (Java-Applet)
• Simulation Rentenrechnung
• Wie viel Alterskapital soll ich von der Pensionskasse beziehen?

Delphi-Anwendungen

• Lissajou-Figuren (... und Delphi-Anwendung zum Download)
• Fraktale mittels IFS (... und Delphi-Anwendung zum Download)

Rätsel, Knacknüsse und Denksportaufgaben

• Puzzle 36: Wahrscheinlickeit eines Dreiblattes beim Jassen
• Puzzle 35: Die Geburtstagsparty zur Geisterstunde
• Puzzle 34: Die verborgenen Kugeln
• Puzzle 33: Das Wettrennen über 1000 Meter
• Puzzle 32: Der Münzenwurf zum zweiten
• Puzzle 31: Wie heisst die 57-ste Zahl?
• Puzzle 30: Die Entfernung eines Baumes
• Puzzle 29: Das Tontaubenschiessen
• Puzzle 28: Das Perlen-Armband
• Puzzle 27: Das H-Problem
• Puzzle 26: Flussüberquerung in China
• Puzzle 24: Wie weit ist es vom "Löwen" zum "Bären" ?
• Puzzle 23: Sechs Hasen Puzzle
• Puzzle 22: Fasane, Hasen und Rehe
• Puzzle 21: Das Käferproblem
• Puzzle 20: Eulersche Quadrate - NxN Damenproblem
• Puzzle 19: Der Münzenwurf
• Puzzle 17: Die ungenaue Grundstückzeichnung
• Puzzle 16: Sixteen-Puzzle
• Puzzle 15: Bananentransport in der Wüste
• Puzzle 14: Schiebepuzzle
• Puzzle 13: Solitaire: Quadrat und Achteck
• Puzzle 12: Theseus und der Minotaur
• Puzzle 11: Prinz und Prinzessin
• Puzzle 10: Der Bücherwurm
• Puzzle 9: Kryptogramm (mit Java-Unterstützung zum Suchen der Lösung)
• Puzzle 8: Fünf Logik-Rätsel
• Puzzle 7: Der Teilnehmer an einem Fernsehquiz (Ziegenproblem)
• Puzzle 6: Die fünf Schiffbrüchigen
• Puzzle 5: Der optimale Ruderer
• Puzzle 4: Der Elektriker
• Puzzle 3: Der Leichtathletik-Wettkampf
• Puzzle 2: Die Geburtstagsfeier (The Birthday Celebration)
• Puzzle 1: Teppich-Problem (Carpet-Puzzle)