Bibonacci-Zahlen (W3)

computerwissen
Der Goldene Schnitt

Es gibt viele Theorien, warum nun gerade der Goldene Schnitt mit seinem Teilungsverhältnis als „golden“ bezeichnet wird. Eine der plausibelsten Antworten ist wohl, dass der Goldene Schnitt völlig außerhalb ganzzahliger Werte und Teilungsverhältnisse liegt.

Die Regel für den Goldenen Schnitt entstammt der Harmonielehre der Antike: Ein Punkt muss eine Strecke so teilen, dass sich das längere Stück zum Ganzen verhält wie das kürzere Stück zum längeren. Klingt einfach - die Formel zur Berechnung ist dagegen eher kompliziert und soll Sie hier nicht verwirren. Sie fußt auf der Zahl Phi: 1.618033988749895... aufgerundet 1,62. Es reicht, sich die Faustregel zu merken: Das längere Teilstück entspricht etwas über 60 Prozent des Ganzen, das kürzere fast 40 Prozent. Der Blickpunkt eines Fotos sollte genau im Goldenen Schnitt liegen.
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Neben dem Goldenen Schnitt gibt es auch noch weitere „Goldene Verhältnisse“, denen jedoch allen die mathematische Grundformel gemeinsam ist: Das Goldene Dreieck und die Goldene Spirale sowie weitere „Goldene Teilungen“, die sich daraus ableiten lassen.
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Fibonacci (W3)

Bigollone, Bigolone v. Bighellone [= dt. "Bummler", "Schlenderer", "Tagedieb", "Nichtstuer", ital. "bighellonare" = dt. "bummeln", "schlendern"]

Leonardo Pisano, Bigollo

Quesito: Eva Caianiello da Milano ci chiede quali siano origine e significato del termine "bigollo", riferito a Leonardo Pisano.

Leonardo Pisano, "Bigollo"

Il soprannome "Bigollo", che accompagna il nome di "Leonardo Pisano" in diversi documenti nonché nell’incipit di alcune sue opere (es. “Incipit Flos Leonardi Bigolli Pisani...”), ha scatenato un dibattito annoso e ancora vivo fra gli studiosi del matematico. A lungo si è ritenuto che il termine fosse un equivalente di "bigollone", ossia "bighellone", attribuito in maniera dispregiativa e ironica dai suoi stessi concittadini (tutti abili e infaticabili commercianti) al povero matematico, buono solo a perder tempo - a “bighellonarsi”, appunto - coi numeri (cfr. ad esempio Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci di Francesco Bonaini, pp. 239-240). Studi etimologici riconducono "bigolone", "bigollone" alla forma "*bigolone", "*bombigolone" (dal grecismo latino "bombyx", -ycis "baco da seta"), da cui anche "bigolo" ‘spaghetto’ o "bigatto" (cfr. DEI, s.v. "bigolone"). Non presenterebbe quindi alcuna difficoltà, a livello semantico, il passaggio da ‘vermicello’ a ‘pene’ e quindi a ‘persona sciocca, cretino’ (in proposito, cfr. soprattutto il recente articolo "Bigolone" e "bighellone" di Davide Puccini).
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fibonacci

Fibonacci Numbers (W3)

• f(0)=0
• f(1)=1
• f(n)=f(n-2)+f(n-1)

The Fibonacci rhyme scheme is based upon the Fibonacci number. Fibonacci number names an integer in the sequence that begins 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, and continues infinitely.

So where does poetry fit in? We'll answer in the form of a "fib", the name coined by writer Gregory K. Pincus, the fellow who's been popularizing the 1, 1, 2, 3, 5, 8 syllabic form on the Web. Pincus says his first "fib" was this six-line effort:

One
Small
Precise
Poetic
Spiraling Mixture:
Poetry plus math yields the Fib.

The Fibonacci poem, or Fib, follows a pattern in which the first two lines count one syllable each, the third line has two syllables, the fourth line has three, the fifth five, and the sixth line has eight.

The Fib is a poetic form (in the mold of the unrhymed haiku), but it should not be described as a rhyme scheme. Rhyme scheme refers to the formal arrangement of rhymes in a stanza or poem. Rhymes—which come in many varieties—produce sounds that appeal to the ear and that are used to unify and establish a poem's form.

• "Fibonacci number" a number in the "Fibonacci sequence"
• "Fibonacci sequence" a sequence of numbers in which each number equals the sum of the two preceding numbers

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Using a simple model of phyllotaxis (the process by which plant leaves or seeds are arranged on their stem), I positioned dots on a square canvas. By varying the radii of the dots, I made them resemble "Fibonacci". Incidentally, the number of dots, 6765, is a "Fibonacci number". So are the number of clockwise spirals (144) and counterclockwise spirals (233) formed by the dots.
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The Fibonacci numbers modulo N, where N is a large number, have been used as RNGs. The Pickover test shows that they are not very random.
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F(1001) = 70330367711422815821835254877183549770181269836358732742604905087154537118196933579742249494562611733487750449241765991088186363265450223647106012053374121273867339111198139373125598767690091902245245323403501

How are Fibonacci numbers expressed in nature?
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In 1202, Italian mathematician Leonardo Pisano (also known as "Fibonacci", meaning "son of Bonacci") pondered the question: Given optimal conditions, how many pairs of rabbits can be produced from a single pair of rabbits in one year? This thought experiment dictates that the female rabbits always give birth to pairs, and each pair consists of one male and one female.
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Fibonacci Numbers / Fibonacci Lines

Leonardo Fibonacci was an Italian mathematician born in the 12th century. He is known to have discovered the "Fibonacci numbers", which are a sequence of numbers where each successive number is the sum of the two previous numbers.

e.g. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.

These numbers possess a number of interrelationships, such as the fact that any given number is approximately 1.618 times the preceding number.

| Fibonacci heap | Fibonacci number | Fibonacci tree

Fibonacci number
Definition: A member of the sequence of numbers such that each number is the sum of the preceding two. The first seven numbers are 1, 1, 2, 3, 5, 8, and 13. F(n) ˜ round(Fn/v 5), where F=(1+v 5)/2.

Formal Definition: The nth Fibonacci number is:
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Limericks on "Fibonacci number"

Limericks on "Fibonacci numbers"

• characteristic functions (015): A010056 A000045 A001690 Fibonacci numbers
• characteristic functions (091): A122895 A123240 NA tau=Fibonacci

• Coding Fibonacci numbers:: A005203, A005205

• complements of: Bell numbers, A092460; Catalan numbers, A092459; cubes, A007412; evil numbers, A000069; Fibonacci numbers, A001650; odious numbers, A001969; powers of 2, A057716; primes, A018252 and A002808; squares, A000037; triangular numbers, A014132
• compositions, into Fibonacci numbers: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of

• continued fractions for constants: Sum_{n>=0} 1/2^(2^n) (A007400), Sum_{k>=2} 2^(-Fibonacci(k)) (A006518), Sum_{m>=0} 1/(2^2^m - 1) (A048650)
• Convolved Fibonacci numbers:: A001629, A001628, A001872, A001873, A001874, A001875

• core sequences, (02): A000040 (primes), A000041 (partitions), A000043 (Mersenne), A000045 (Fibonacci), A001519 and A001906 (Fibonacci bisections), A000048 (necklaces), A000055 (trees), A000058 (Sylvester), A000069 (odious), A000079 (2^n), A000081 (rooted trees), A000085 (self-inverse perms.), A000088 (graphs), A000105 (polyominoes), A000108 (Catalan), A000109 (polyhedra)

• factorizations of important sequences: n: A027746; Fibonacci(n): A060441; 2^n-1: A001265; 2^n+1: A001269

• Fibonacci entry points: see under Fibonacci numbers, Fibonacci entry points
• Fibonacci expansion: see Zeckendorf expansion
• Fibonacci groups: A202624
• Fibonacci numbers, +- k: A000045 A001611 A000071 A157725 A001911 A157726 A006327 A157727 A157728 A157729 A167616
• Fibonacci numbers, sequences related to :
• Fibonacci numbers, A000045*
• Fibonacci numbers, bisection of: A001519, A001906
• Fibonacci numbers, coded: A005203, A005205
• Fibonacci numbers, compositions into: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
• Fibonacci numbers, convolved: A001628 A001629 A001872 A001873 A001874 A001875 A006684 A037027
• Fibonacci numbers, ending in n: A000350
• Fibonacci numbers, Fibonacci entry points: A001602, A001177
• Fibonacci numbers, Fibonacci in digits: A093086
• Fibonacci numbers, frequencies: A001178
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: (2-rx)/(1-rx-sx^2): (1) A000032 (Lucas), A002203 (Pell-Lucas), A006497, A014448, A014551 (Pell-Jacobsthal), A072265, A075118, A080040, A080042, A085447, A087130, A087131,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: (2-rx)/(1-rx-sx^2): (2) A087404, A087451, A102345
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (1) A000045 (Fibonacci), A000129 (Pell), A001045 (Jacobsthal), A001076, A002532, A005668, A006130, A006131, A006190, A007482, A015440, A015441,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (2) A015442, A015518, A015519, A015521, A015523, A015530, A015531, A015532, A015532, A015535, A015536, A015537,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (3) A015540, A015541, A015551, A015555, A015559, A015561, A015562, A015564, A015574, A015575, A015579, A015580,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (4) A015581, A030195, A057087, A057088, A080953, A083858, A085449, A085939, A090017, A106648
• Fibonacci numbers, generalized: (1) A001584 A005189 A006207 A006208 A006209 A006210 A006211 A006603 A006604 A015440 A015441 A015442
• Fibonacci numbers, generalized: (2) A015443 A015445 A015446 A015447 A015448 A015449 A015453 A015454 A015455 A015456 A015457 A054437
• Fibonacci numbers, generalized: (3) A057076
• Fibonacci numbers, k-th order: A000012, A000045, A000073, A000078, A001591, A001592, A122189, A079262, A104144, A122265, A168082
• Fibonacci numbers, mod n: A001175
• Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of: A000119, A000121, A013583, A083853, A076739, A080888, A003107, A007000
• Fibonacci numbers, occurrence of numbers in:: A001602, A001177
• Fibonacci numbers, partitions into: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
• Fibonacci numbers, partitions into:: A003107, A007000
• Fibonacci numbers, periods of: A001175
• Fibonacci numbers, prime: see primes, Fibonacci numbers
• Fibonacci numbers, primes dividing:: A001578, A000057, A001604, A001603
• Fibonacci numbers, primitive part of: A061446
• Fibonacci numbers, products of:: A003266
• Fibonacci numbers, reciprocals of:: A006172, A005522
• Fibonacci numbers, signed: A039834
• Fibonacci numbers, sums of:: A000119, A000121, A000557, A005968, A005969, A006133, A000556, A006132
• Fibonacci numbers, transforms of:: A007440, A007435, A007436, A007552, A007553
• Fibonacci numbers, two-dimensional: A006506
• Fibonacci numbers: complementary sequence: A001650
• Fibonacci numbers: not: A001650
• Fibonacci numbers: see also (1): A007492, A003603, A001176, A001611, A003247, A003251, A003258, A002062, A006985, A006449, A001932, A005370, A003233, A005653
• Fibonacci numbers: see also (2): A005620, A003254, A005625, A000071, A005207, A005269, A005624, A003256, A007570, A005270, A003257, A005626, A005623, A003255
• Fibonacci numbers: see also (3): A005652, A005622, A003252, A003234, A006502, A005189, A001178, A001690, A005621, A003259, A003250, A003147, A003248, A003249
• Fibonacci numbers: variants using greatest prime factor or least prime factor: A175723, A177904, A177923, A178179, A178174, A178094, A178095
• Fibonacci or circle product: A101330
• Fibonacci or circle product: see Knuth's Fibonacci or circle product
• Fibonacci periods: A001175*
• Fibonacci primitive root: A003147
• Fibonacci representations:: A003247, A003251, A003258, A003233, A003254, A003256, A003257, A003255, A003252, A003234, A003259, A003250, A003248, A003249
• Fibonacci search: A006478, A006479
• Fibonacci successors: A022342*
• Fibonacci-Pascal triangle: A0045995*, A006449

• Knuth's Fibonacci or circle product: A101330, A135090

• Lucas numbers, generalized: see Fibonacci numbers, generalized

• partitions, into Fibonacci numbers: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of

• Pell numbers, generalized: see Fibonacci numbers, generalized

• primes, Fibonacci numbers: A001605*, A005478*

• representations as sums of Fibonacci numbers, A000119, A000121, A006133, A006132

• semi-Fibonacci numbers: A030067*

• sieve, Fibonacci: A039672*

• spelling: Fibonacci (not fibonacci)

• take-a-Fibonacci-number: A014588*

• two-way infinite sequences (01): Many sequences can be extended backwards in a natural way. For example, the Fibonacci numbers (A000045) extend backards to give the two-way infinite sequence

• x/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized

• (2-rx)/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized
• 1/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized

Fibonacci entry points | Fibonacci expansion | Fibonacci or circle product | Fibonacci primitive root | Fibonacci representations | Fibonacci search | Fibonacci successors | Fibonacci-Pascal triangle | Fibonomial Catalan numbers | Fibonomial coefficients | Knuth's Fibonacci or circle product | sieve, Fibonacci | take-a-Fibonacci-number | word, Fibonacci

Coding Fibonacci numbers | Convolved Fibonacci numbers | Fibonacci numbers | partitions, into Fibonacci numbers | primes, Fibonacci numbers | Representations as sums of Fibonacci numbers | semi-Fibonacci numbers

• characteristic functions (015): A010056 A000045 A001690 Fibonacci numbers
• Coding Fibonacci numbers:: A005203, A005205
• complements of: Bell numbers, A092460; Catalan numbers, A092459; cubes, A007412; evil numbers, A000069; Fibonacci numbers, A001650; odious numbers, A001969; powers of 2, A057716; primes, A018252 and A002808; squares, A000037; triangular numbers, A014132
• compositions, into Fibonacci numbers: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
• Convolved Fibonacci numbers:: A001629, A001628, A001872, A001873, A001874, A001875
• Fibonacci entry points: see under Fibonacci numbers, Fibonacci entry points
• Fibonacci numbers, +- k: A000045 A001611 A000071 A157725 A001911 A157726 A006327 A157727 A157728 A157729 A167616
• Fibonacci numbers, sequences related to (start):
• Fibonacci numbers, A000045*
• Fibonacci numbers, bisection of: A001519, A001906
• Fibonacci numbers, coded: A005203, A005205
• Fibonacci numbers, compositions into: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
• Fibonacci numbers, convolved: A001628 A001629 A001872 A001873 A001874 A001875 A006684 A037027
• Fibonacci numbers, ending in n: A000350
• Fibonacci numbers, Fibonacci entry points: A001602, A001177
• Fibonacci numbers, Fibonacci in digits: A093086
• Fibonacci numbers, frequencies: A001178
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: (2-rx)/(1-rx-sx^2): (1) A000032 (Lucas), A002203 (Pell-Lucas), A006497, A014448, A014551 (Pell-Jacobsthal), A072265, A075118, A080040, A080042, A085447, A087130, A087131,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: (2-rx)/(1-rx-sx^2): (2) A087404, A087451, A102345
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (1) A000045 (Fibonacci), A000129 (Pell), A001045 (Jacobsthal), A001076, A002532, A005668, A006130, A006131, A006190, A007482, A015440, A015441,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (2) A015442, A015518, A015519, A015521, A015523, A015530, A015531, A015532, A015532, A015535, A015536, A015537,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (3) A015540, A015541, A015551, A015555, A015559, A015561, A015562, A015564, A015574, A015575, A015579, A015580,
• Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (4) A015581, A030195, A057087, A057088, A080953, A083099, A083858, A085449, A085939, A090017, A106648
• Fibonacci numbers, generalized: (1) A001584 A005189 A006207 A006208 A006209 A006210 A006211 A006603 A006604 A015440 A015441 A015442
• Fibonacci numbers, generalized: (2) A015443 A015445 A015446 A015447 A015448 A015449 A015453 A015454 A015455 A015456 A015457 A054437
• Fibonacci numbers, generalized: (3) A057076
• Fibonacci numbers, mod n: A001175
• Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of: A000119, A000121, A013583, A083853, A076739, A080888, A003107, A007000
• Fibonacci numbers, occurrence of numbers in:: A001602, A001177
• Fibonacci numbers, partitions into: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
• Fibonacci numbers, partitions into:: A003107, A007000
• Fibonacci numbers, periods of: A001175
• Fibonacci numbers, prime: see primes, Fibonacci numbers
• Fibonacci numbers, primes dividing:: A001578, A000057, A001604, A001603
• Fibonacci numbers, primitive part of: A061446
• Fibonacci numbers, products of:: A003266
• Fibonacci numbers, reciprocals of:: A006172, A005522
• Fibonacci numbers, signed: A039834
• Fibonacci numbers, sums of:: A000119, A000121, A000557, A005968, A005969, A006133, A000556, A006132
• Fibonacci numbers, transforms of:: A007440, A007435, A007436, A007552, A007553
• Fibonacci numbers, two-dimensional: A006506
• Fibonacci numbers: complementary sequence: A001650
• Fibonacci numbers: not: A001650
• Fibonacci numbers: see also (1): A007492, A003603, A001176, A001611, A003247, A003251, A003258, A002062, A006985, A006449, A001932, A005370, A003233, A005653
• Fibonacci numbers: see also (2): A005620, A003254, A005625, A000071, A005207, A005269, A005624, A003256, A007570, A005270, A003257, A005626, A005623, A003255
• Fibonacci numbers: see also (3): A005652, A005622, A003252, A003234, A006502, A005189, A001178, A001690, A005621, A003259, A003250, A003147, A003248, A003249
• Fibonacci numbers| sequences related to (start):
• Lucas numbers, generalized: see Fibonacci numbers, generalized
• partitions, into Fibonacci numbers: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
• Pell numbers, generalized: see Fibonacci numbers, generalized
• primes, Fibonacci numbers: A001605*, A005478*
• representations as sums of Fibonacci numbers, A000119, A000121, A006133, A006132
• semi-Fibonacci numbers: A030067*
• two-way infinite sequences (01): Many sequences can be extended backwards in a natural way. For example, the Fibonacci numbers (A000045) extend backards to give the two-way infinite sequence
• x/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized
• (2-rx)/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized
• 1/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized

und ein Beispiel:

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A197896 : T(n,k)=Number of nXk 0..4 arrays with each element x equal to the number of its horizontal and vertical neighbors equal to 3,3,0,1,1 for x=0,1,2,3,4
1, 1, 1, 2, 7, 2, 3, 12, 12, 3, 5, 31, 50, 31, 5, 8, 79, 180, 180, 79, 8, 13, 186, 745, 1141, 745, 186, 13, 21, 465, 3046, 7589, 7589, 3046, 465, 21, 34, 1131, 12531, 46988, 82343, 46988, 12531, 1131, 34, 55, 2776, 52188, 307547, 821491, 821491, 307547, 52188
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Fibonacci Numbers and the Golden Section

Pi and the Fibonacci Numbers

Surprisingly, there are several formulae that use the Fibonacci numbers to compute pi.

Here's a brief introduction from scratch to all that you need to know to appreciate these formulae.

Contents of this page

• How Pi is calculated
• Measuring the steepness of a hill
• But what does "a slope of 1 in 5" mean?
• The tangent of an angle
• The arctan function
• Gregory's Formula for arctan(t)
• Radian measure
• Gregory's series and Pi
• Using Gregory's Series to calculate Pi/4
• Using Gregory's series to calculate Pi/6
• Machin's Formula
• Another two-angle arctan formula for pi
• Pi and the Fibonacci Numbers
• The General Formulae
• Wetherfield's notation
• More formulae for two angles
• Lucas Numbers and a Formula for Pi
• More Series?
• Some Experimental Maths for you to try
• Finding more arctan relations for 1/N
• Arctan relations for M/N
• Reducing two arctans to one
• Research Problems
• Pi, Fibonacci and Phi
• More links and References

Fibonacci and Lucas Number Calculator 1.2

The Mathematical Magic of the Fibonacci Numbers

Pi and the Fibonacci Numbers

Surprisingly, there are several formulae that use the Fibonacci numbers to compute pi (p).
Here's a brief introduction from scratch to all that you need to know to appreciate these formulae.

Contents of this page

• How Pi is calculated
• Measuring the steepness of a hill
• But what does "a slope of 1 in 5" mean?
• The tangent of an angle
• The arctan function
• Gregory's Formula for arctan(t)
• Radian measure
• Gregory's series and Pi
• Using Gregory's Series to calculate Pi/4
• Using Gregory's series to calculate Pi/6
• Machin's Formula
• Another two-angle arctan formula for pi
• Pi and the Fibonacci Numbers
• The General Formulae
• Wetherfield's notation
• More formulae for two angles
• Lucas Numbers and a Formula for Pi
• More Series?
• Some Experimental Maths for you to try
• Finding more arctan relations for 1/N
• Arctan relations for M/N
• Reducing two arctans to one
• Research Problems
• Pi, Fibonacci and Phi
• More links and References

The sum of the reciprocals of the Fibonacci numbers is: 3.3598856662431775531720113029....

Fibonacci numbers

The Fibonacci numbers are the sequence of numbers defined by the linear recurrence equation Fn = F(n-1) + F(n-2).
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Binet's Fibonacci Number...

Fast Fibonacci Transform | Fibonacci | Fibonacci Chain Map | Fibonacci Coefficient | | Fibonacci Hyperbolic Func... | Fibonacci Identity | Fibonacci Matrix | Fibonacci n-Step Number | Fibonacci Number | Fibonacci Polynomial | Fibonacci Prime | Fibonacci Pseudoprime | Fibonacci Q-Matrix | Fibonacci Dual Theorem

Fibonacci Number

Chebyshev and Fibonacci Functions

• ChebyshevT[nu,z] (263 formulas)
• ChebyshevU[nu,z] (238 formulas)
• Fibonacci[nu,z] (141 formulas)

Fibonacci[nu] (178 formulas)

Generalized Fibonacci Num...

Reciprocal Fibonacci Cons...

Fibonacci[n,z] (104 formulas)

Fibonacci Number | Generalized Fibonacci...

Fibonacci Function

Fibonacci number

• fibonacci-numbers
• Fibonacci numbers (computer definition)

Fibonacci retracement (W3)

Fibonacci Retracement

Fibonacci sequence (W3)

• "Fibonacci number" a number in the "Fibonacci sequence"
• "Fibonacci sequence" a sequence of numbers in which each number equals the sum of the two preceding numbers

Alan Turing’s final experiment completed and theory proven in centenary tribute

by Amy Freeborn • October 31, 2012

sunflower seed head spirals

A theory about the occurrence of mathematical patterns in nature, developed by computer scientist and code-breaker Alan Turing before his death in 1954, has finally been proven.

Turing believed that the seeds in a sunflower head conform to the Fibonacci code, a sequence of numbers in which the next figure is the sum of the previous two: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 and so on.

And this weekend (October 28) in Manchester it was announced that Turing’s theory was indeed correct, thanks to sunflower growers and counters around the world.

The finding was the result of a citizen science project called Turing’s Sunflowers, the initial data from which has shown that 82 per cent of sunflowers recorded had a Fibonacci-type structure.
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Dreamlike animation illustrating "Fibonacci sequence", Golden Ratio, and more

In "Nature by Numbers," filmmaker Cristobal Vila presents a series of animations illustrating various mathematic principles, beginning with a breathtaking animation of the Fibonacci sequence. Then it moves on to the Golden and Angle Ratios, the Delaunay Triangulation and Voronoi Tessellations. This would be math-class gold, and it's awfully sweet even if math class is years behind you.

Fibonacci sequence

• Ceva's Theorem and Fibonacci Bamboozlement
• Fibonacci Nim

Divide the number 999,999,999,999,999,999,999,998,999,999,999,999,999,999,999,999 into 1 and express the result as a decimal expansion, and you’ll find the "Fibonacci sequence" presented in tidy 24-digit strings:
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This script displays a Fibonacci sequence up to a certain number of calculations. It uses a lookup array to offset the large, recursive calculations needed to calculate large numbers, and is not too processor intensive. It is precise to 32 bits (78 iterations), after which the JavaScript interpreter rolls bits over.

Fibonacci Sequence

Limericks on "Fibonacci sequence"

(E?)(L?) http://oeis.org/locate_tab.html
para-Fibonacci sequences, sequences related to : para-Fibonacci sequences: A019586*, A035612

(E?)(L?) http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Chronology/full.html

1202

Fibonacci writes "Liber abaci" ("The Book of the Abacus"), which sets out the arithmetic and algebra he had learnt in Arab countries. It also introduces the famous sequence of numbers now called the "Fibonacci sequence".

1753

Simson notes that in the "Fibonacci sequence" the ratio between adjacent numbers approaches the golden ratio.

(E?)(L1) http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Glossary/


(E?)(L1) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Glossary/index.html


(E?)(L1) https://whatis.techtarget.com/definitionsAlpha/0,289930,sid9_alpF,00.html

• Fibonacci
• Fibonacci poem (or Fib)
• Fibonacci poetry
• Fibonacci sequence

(E?)(L?) http://pi.lacim.uqam.ca/eng/table_en.html


(E?)(L?) http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/fibofact.txt
1.226742010720353 Fibonacci factorial constant

(E?)(L?) http://primes.utm.edu/glossary/

• •Fibonacci
• •Fibonacci prime
• •Fibonacci sequence

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

The Fibonacci numbers are the sequence of numbers defined by the linear recurrence equation Fn = F(n-1) + F(n-2).
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(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/R.html
Random Fibonacci Sequence

(E?)(L1) http://numb3rs.wolfram.com/season1.html

Episode 106: Sabotage

A serial saboteur claims responsibility for a deadly accident in which a train crashes into an empty school bus that was abandoned on railroad tracks. The perpetrator left a note that appears to be a numeric code, which Charlie tries to crack. Soon it's learned that the accident is a re-creation of a previous wreck, and that the person behind it is responsible for six train mishaps over the past three years, all of which were copies of earlier rail disasters.

Math used: Kasiski examination, cryptography, Fibonacci sequence, golden ratio, Beale ciphers

(E?)(L?) http://numb3rs.wolfram.com/404/

Episode 404: Thirteen

Don and his team track a serial killer who is obsessed with recreating the deaths of biblical characters. Meanwhile, Charlie analyzes numerological patterns in Bible verses the killer leaves behind. More »

Math used: phyllotaxis, Fibonacci sequence, numerology, gematria, strong law of small numbers, binary numbers

(E?)(L1) http://numb3rs.wolfram.com/season6.html

Episode 601: Hangman

The sixth season begins with Charlie grappling with his position in the future, as the FBI tries to protect a controversial figure attending a rally. More

Math used: unexpected hanging, Eurisko program, golden ratio, aperiodic tiling, Fibonacci sequence, Are you a math genius?
Puzzle: Domino Grid

(E?)(L?) https://www.yourdictionary.com/fibonacci-sequence

Fibonacci sequence

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=0&content=Fibonacci sequence
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Engl. "Fibonacci sequence" taucht in der Literatur um das Jahr 1900 / 1940 auf.

Erstellt: 2016-04

Fibonacci Series (W3)

The "Fibonacci Series" 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Da Vinci and the Divine Proportion in Art Composition

Leonardo Da Vinci has long been associated with the golden ratio. This association was reinforced in popular culture in 2003 by Dan Brown's best selling book "The Da Vinci Code." The plot has pivotal clues involving the "golden ratio" and "Fibonacci series". In 2006, the public awareness of the association grew when the book was turned into a movie starring veteran actor Tom Hanks.
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Stock Market Analysis, Phi and the "Fibonacci Sequence"

Human expectations occur in a ratio that approaches "Phi". Changes in stock prices largely reflect human opinions, valuations and expectations. A study by mathematical psychologist Vladimir Lefebvre demonstrated that humans exhibit positive and negative evaluations of the opinions they hold in a ratio that approaches phi, with 61.8% positive and 38.2% negative. "Phi" and "Fibonacci numbers" are used to predict stocks Phi (1.618), the "Golden Mean" and the numbers of the "Fibonacci series" (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) have been used with great success to analyze and predict stock market moves, known as retracements.
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What is the "Fibonacci Sequence" (aka "Fibonacci Series")?

Leonardo Fibonacci discovered the sequence which converges on "phi". In the 12th century, Leonardo Fibonacci wrote in Liber Abaci of a simple numerical sequence that is the foundation for an incredible mathematical relationship behind "phi". This sequence was known as early as the 6th century AD by Indian mathematicians, but it was Fibonacci who introduced it to the west after his travels throughout the Mediterranean world and North Africa. Starting with 0 and 1, each new number in the sequence is simply the sum of the two before it. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . The ratio of each successive pair of numbers in the sequence approximates "phi" (1.618. . .), as 5 divided by 3 is 1.666..., and 8 divided by 5 is 1.60. The table below shows how the ratios of the successive numbers in the "Fibonacci sequence" quickly converge on "Phi". After the 40th number in the sequence, the ratio is accurate to 15 decimal places. 1.618033988749895.
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• Fibonacci Series Edited 27%
• Phi Edited 3%
• Unity - the Number One Edited 2%
• Dream Theater - The Band Edited 2%
• Pictures: The Natural World - Plants Help Page 2%
• Python - the Programming Language Edited 1%
• The 'Evolution' of Creationism Edited 1%
• Langton's Ant Edited 1%
• The Sunflower Edited 1%
• Great Indian Scientists of the Ancient and Medieval Period Edited 1%
• Number Systems Through the Ages Edited 1%

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A Fibonacci series is a series of numbers that grows from two 'seed' numbers, using the simple rule that the next member of the series is the sum of the previous two members. It has been used to describe such diverse phenomena as the stock market, plant growth, and musical themes.
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Limericks on Fibonacci series
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The Fibonacci series has been found to be applicable to many situations, including: population growth, the Golden ratio f, computer search algorithms, tiling patterns, the growth pattern formations of certain flora and fauna — and a lot more, including limerick structure.
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Fibonacci series

Fibonacci spiral (W3)

"Fibonacci spiral"

Fibonacci word (W3)

Fibonacci word (or binary sequence): A003849*, A005614*, A003842*, A005713, A036299, A076662

word, Fibonacci: see Fibonacci word

Fibonacci word (or binary sequence)

• 1.2083 Fibonacci word fractal 60°
• 1.6379 Fibonacci word fractal

A "Fibonacci word" is a specific sequence of binary digits (or symbols from any two-letter alphabet). The Fibonacci word is formed by repeated concatenation in the same way that the Fibonacci numbers are formed by repeated addition.

It is a paradigmatic example of a Sturmian word.

The name “Fibonacci word” has also been used to refer to the members of a formal language L consisting of strings of zeros and ones with no two repeated ones. Any prefix of the specific Fibonacci word belongs to L, but so do many other strings. L has a Fibonacci number of members of each possible length.
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Fibonacci Zahlen (W3)

• f(0)=0
• f(1)=1
• f(n)=f(n-2)+f(n-1)

Die "Fibonacci Zahlen" und der "Goldene Schnitt"

fibonaccian (W3)

Fibonaccian search

"fibonaccian"

Adjective (comparative more Fibonaccian, superlative most Fibonaccian)

Of or relating to the mathematician Fibonacci.

Fibonacci-Folge (W3)

Fibonacci-Folge

Der spanische Computeranimations-Künstler Cristóbal Vila hat mit dem Kurzfilm "Inspirations: Art of M.C. Escher" eine bemerkenswerte Hommage an M. C. Escher im Netz veröffentlicht. In einem CGI-Rundflug durch das fiktive Arbeitszimmer Eschers visualisiert Vila diverse geometrische Themen und greift bekannte Werke des legendären Graphikers auf. Vila war bereits 2010 mit seinem Video "Nature by Numbers" aufgefallen, einer Illustration der Fibonacci-Folge zu Musik von Wim Mertens.
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Der goldene Schnitt und die Fibonaccifolge
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Biologie

Wir hatten oben gesehen, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonaccifolgenglieder eine Approximation an den goldenen Schnitt ist. (Eine recht gute übrigens.) Nun stellt man fest, dass die Kerne einer Sonnenblume ein ganz besonderes Muster aufweisen: Sie liegen auf spiralförmigen Linien, die sich von der Mitte bis zum Rand der Sonnenblume winden.
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Die "Fibonacci-Folge" steht in einem rechnerischen Zusammenhang, genauer formuliert in einem Grenzübergang zur Formel des "Goldenen Schnitts", da dieser im Wesentlichen ja nichts anderes ist, als die Teilung einer Strecke in zwei Teile, wobei der größere sich zum kleineren verhält wie die ganze Strecke zum größeren Teil.
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NATURE BY NUMBERS

von Cristóbal Vila

Short movie inspired on numbers, geometry and nature

Fibonacci-Retracement (W3)

"Fibonacci-Retracements" spielen in der Chartanalyse eine wichtige Rolle. Sie beruhen auf der "Fibonacci-Zahlenreihe" des gleichnamigen italienischen Mathematikers aus dem 13. Jahrhundert. Charttechnikern zufolge korrigieren Aktien und Indizes vorangegangene Aufwärts-/Abwärtsbewegungen um bestimmte Prozentsätze: Am bekanntesten sind die "Fibonacci-Retracements" 38,2 %, 50,0 % und 61,8 %. Sie fungieren oftmals als wichtige (Widerstands- oder Unterstützungslinien.

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Ein praktisches Beispiel von Fibonacci-Retracements

Eine praktische Anwendung von Fibonacci-Retracements und weiteren Indikatoren bei der Microsoft-Aktie im Wochenchart.
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Fibonaccis are Human (made)

Wissenschaftliche Analyse von Retracement-Level
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Als "Fibonacci-Retracements" bezeichnet man in der technischen Analyse Kurskorrekturen an bestimmten Widerstands- und Unterstützungslinien. Benannt sind sie nach der zugrunde gelegten "Fibonacci-Folge". Die statistisch nicht nachweisbaren "Fibonacci-Retracements" basieren auf der Idee, dass Märkte vorangegangene Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegungen vorhersehbar um bestimmte Prozentsätze korrigieren.

Fibonacci-Retracement

Dax-Tagesausblick 19.09.2005 08:49.20 Für den vergangenen Handelstag hatten wir u.a. eingeschätzt : Solange der Fdax oberhalb seines 50 % "Fibonacci-Retracement" der August-Tiefs notiert, gilt es hier, nicht gegen den Support zu handeln und Short-Positionen vorerst nicht zu ... [ mehr ... ] Aktie des Tages 16.09.2005 Aktie des Tages WALT DISNEY-DISNEY - WALT DISNEY-DISNEY 24,00 USD KGVe : [ mehr ... ] Handelssignale : Markt Empfehlung gültig seit bei einem Kurs von Dax 16.09.2005 11:00.53 4979

fibonacci-sequence (W3)

plural form of "Fibonacci sequence"

Fibonacci-Zahlen (W3)

Was sind Fibonacci-Zahlen? Wie viele Flächen hat ein Dodekaeder? - Zeigen Sie im Jahr der Mathematik, dass Sie mehr als das kleine Einmaleins beherrschen!

Fibonacci-Zahlen und Lucas-Zahlen

Leonardo von Pisa, genannt "Fibonacci" fand im Jahre 1202 die nach ihm benannte Folge beim Studium der Vermehrung von Kaninchen.
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Weltweites Zählprojekt untersucht Fibonacci-Zahlen in der Natur

Mathematik: Ist sie die Universalsprache des Universums?

In der Natur lassen sich in zahlreichen Zusammenhängen mathematische Gesetzmäßigkeiten erkennen. Zählt man die Anzahl an Spiralen in den gelben Köpfen von Sonnenblumen oder die Blütenblätter von Gänseblümchen, stößt man immer wieder auf die "Fibonacci-Zahlen". Auch bestimmte geometrische Muster, die auf derselben Formel basieren, sind in der Natur erkennbar, etwa bei einem Spiralnebel, einer Nautilus-Schnecke oder dem inneren Aufbau eines Rotkohles.
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Fibonaccizahlen (W3)

Fibonacci-Zahlenreihe (W3)

Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen sind eine der bekanntesten Zahlenfolgen. Sie fangen mit 0 und 1 an, und dann ist jede Fibonacci-Zahl gleich der Summe der beiden vorhergehenden Fibonacci-Zahlen. Es gibt eine Vielzahl von Querbezügen zu anderen Objekten in der Mathematik: Eine explizite Formel (die Formel von Binet) setzt sie beispielsweise in Verbindung mit dem Goldenen Schnitt. Sie tauchen im Pascalschen Dreieck als Summen von Diagonalen auf. In der Kombinatorik erscheinen sie häufig. Und in der Natur kann man sie als Anzahlen von Spiralen von blattähnlichen Organen bei Pflanzen beobachten.

Diesen Text habe ich im Jahre 1997 geschrieben. Er enthält einen Überblick über einige interessante Dinge, die man mit den Fibonacci-Zahlen anstellen kann. Beweise habe ich nur für einige elementare, aber nicht offensichtliche Behauptungen eingefügt. Die anderen Beweise werden dem Leser überlassen, oder ich habe eine Referenz angegeben.

Der Text wurde mittels des Programmes latex2html von LaTeX konvertiert, aber von mir noch stark nachbearbeitet. Da sich html für mathematische Texte nur bedingt eignet, und ich versucht habe, das Einbinden von Bildern soweit wie möglich zu vermeiden, sieht der Text an vielen Stellen ziemlich zusammengestückelt aus. Es gibt ihn deshalb hier auch noch als Postscript-Datei (die html-Version enthält einige geringfügige Korrekturen):

• •Grundlagen
• ?Definition
• ?Die einfachsten Formeln
• ?Die Formel von Binet
• ¦Die Formel
• ¦Beweis durch Eigenwertrechnung
• ¦Das charakteristische Polynom
• ¦Folgerungen
• ¦Fibonacci-Zahlen mit Matrix-Subskript
• ?Fibonacci-Zahlen und Binomial-Koeffizienten
• ?Grenzwerte mit Fibonacci-Zahlen
• ?Die Inversen der Fibonacci-Zahlen
• •Zahlentheoretische Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen
• ?Der ggT von Fibonacci-Zahlen
• ?Die Fibonacci-Folge modulo n
• ¦Die Periode der Fibonacci-Folge modulo n
• ¦Die Periode der Fibonacci-Folge modulo p
• ¦Die Verteilung der Fibonacci-Zahlen modulo n
• ¦Summen von Fibonacci-Zahlen modulo n
• ?Primitive Teiler
• ?Fibonomial-Koeffizienten
• ¦Definition
• ¦Stern-Konfigurationen mit ggT-Eigenschaft
• ?Fibonacci-Zahlen als Quadrat- und Kubikzahlen
• ?Die Fibonacci-Zahlen als diophantische Menge
• •Fibonacci-Polynome und Fibonacci-artige Polynome
• ?Fibonacci-Polynome
• ?Fibonacci-artige Polynome
• •Der Satz von Zeckendorf
• ?Der Satz
• ?Zeckendorf- oder Fibonacci-Sequenzen
• •Fibonacci-Bäume
• ?Der Stammbaum der Kaninchen
• ¦Der Stammbaum eine Drohne
• ?Die goldene Sequenz
• ?Der Fibonacci-Baum und die Zeckendorf-Darstellung
• •Fibonacci-Zahlen und Kombinatorik
• ?Als Anzahl der Zerlegungen in 1en und 2en
• ?Als Anzahl der Spiegelungen an zwei Glasplatten
• •Leonardo von Pisa und der Liber Abaci
• •Phyllotaxis
• ?Zählen von Spiralen
• ?Divergenzwinkel und Kettenbruchentwicklung
• ?Ontogenetische Modelle
• •Links, verwendete Literatur

Auf den gleichnamigen italienischen Mathematiker zurückgehende unendliche Zahlenreihenfolge, die vielfach im Markenmanagement bei der Festlegung von Proportionen (z.B. von Logos) oder Rhythmen (z.B. von Jingles) Anwendung findet; Leonardo Fibonacci (1170-1250) führte Mitte des 12. Jahrhunderts das arabische Zeichensystem ein, das die römischen Zahlen ablöste und entdeckte verblüffende Gesetzmäßigkeiten in Zahlenfolgen; bei der nach ihm benannten Summenzahlenreihe addieren sich die zwei, jeweils voran stehenden Zahlen zur nächsten: Zn = Zn-1 + Zn-2 Daraus ergibt sich der charakteristische Rhythmus 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc. (vgl. hierzu auch > Ästhetik, > Stil und > Symmetrie)

futura-sciences.com
Fibonacci

• suite de Fibonacci »
• suite géométrique de Fibonacci »
• Leonardo Fibonacci »

Actualité : 3 résultats

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Dossier : le nombre d'or pour comprendre et s'amuser

25/02/2011 - biologie

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Diaporama : top 15 des illusions d'optique

14/07/2011 - Mathématiques

Cette illusion célèbre a été observée pour première fois à la terrasse d'un café dont la mosaïque reproduisait le même dessin. L'illusion du mur de café. © Fibonacci, CC BY SA 3 0 Fixez le point noir ci dessous et éloignez -vous de votre écran... Les cercles rotatifs. © Fibonacci, CC...

Dossier : 14 résultats

Jouer avec la suite de Fibonacci

15/10/2003 - Mathématiques

La coquille et la suite de Fibonacci. © DR Les arcs de cercle bleu, rouge et jaune sont suffisants pour affirmer que sur un rayon (OA) l'écartement de la spire (AB) est égal à l'addition des deux écartements précédents (BC+CD) .C'est bien vrai... Une telle suite s'appelle une suite de...

La suite arithmétique de Fibonacci et le nombre d'or

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Leonardo Fibonacci, ou Leonardo da Pisa, est un mathématicien italien à cheval sur les 12ème et 13ème siècles... 55= 21 + 34 La suite de Fibonacci a une série impressionnante de propriétés qui font la joie des amateurs de mathématiques amusantes... 34 / 21= 1 61904 ...et ainsi de...

L'arithmétique et les plantes

15/04/2002 - Mathématiques

Une mise en parallèle très intéressante entre plantes et arithmétique: la suite arithmétique de Fibonacci, le nombre d'or et la beauté des spirales de la botanique... intriguant! © Photo Marciel Besnier.

Edelweiss, capitule de capitules !

22/12/2009 - botanique

Capitules de Marguerite- la disposition des fleurons forme des spirales régulières qui suivent les règles de la suite de Fibonacci. Suite de Fibonacci Dans l'artichaut, on mange le réceptacle et la base des bractées avant la floraison complète, le bouton floral en quelque sorte... En...

La suite géométrique de raison Phi

15/10/2003 - Mathématiques

La suite géométrique de Fibonacci peut également être" complète" .Et voici son explication- ludique bien sûr. Nous avons établi graphiquement avec une ficelle et un triangle sublime les premiers éléments la suite géométrique de Fibonacci... D'où la suite complète 1 / 4 1 / 3 1 / 2 1 2...

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On connaît maintenant la suite de Fibonacci, jouons à présent avec une autre suite: la suite géométrique... Les cercles suffisent pour affirmer que c'est une suite de Fibonacci, mais en plus c'est une suite pour laquelle il suffit de multiplier une longueur par pour avoir la suivante.

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Conclusion sur le nombre d'or

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Le nombre d'or : avant-propos

15/10/2003 - Mathématiques

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Le nombre d'or et la beauté des spirales de la botanique

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Suite de Fibonacci

02/02/2006 - Mathématiques

Dans toute suite de Fibonacci le rapport des deux derniers nombres (plus grand / plus petit), tend vers la valeur 1 61803 ...,le nombre d'or.

Nombre d'Or

02/02/2006 - Mathématiques

Sa valeur est donnée par la résolution de l'équation du second degré x2- x- 1= 0 dont les racines sont: (1 +/- racine de 5) / 2x== 1 61803 ...et-x'= 0 61803 -...=1 / x. Toute suite de Fibonacci permet de retrouver le nombre d'or avec à moins 2 chiffres après la virgule exacts à partir de...

Photo : 3 résultats

Illusion de Hering

16/06/2011 - photos

Mais prenez votre règle, elles sont droites! © Fibonacci, GNU Free Documentation License.

Les cercles rotatifs

16/06/2011 - photos

Cet effet est dû au relief des trapèzes qui composent le cercle, dont les vecteurs n'ont pas la même direction. © Fibonacci, CC BY SA 3 0.

L'illusion du mur de café

16/06/2011 - photos

Le docteur Gregory en fut tellement interloqué qu'il décida d'en parler dans un numéro de la revue Perception. © Fibonacci, CC BY SA 3 0.

Vidéo : 1 résultats

Zapping : sculptures hypnotisantes, chocolat imprimé en 3D et drone sous-marin

28/01/2015 - Vie du site

Ce nouveau zapping nous emmène à la découverte des hypnotisantes sculptures de Fibonacci avant de partir pour une baignade avec les lamantins, ces étranges herbivores aquatiques. Ce sera ensuite l'occasion d'assister à la construction du nouveau vaisseau de Virgin Galactic avant de revivre...

Personnalité : 1 résultats

Leonardo Fibonacci, Mathématicien

13/05/2008 - Mathématiques

Fibonacci (de son nom moderne) ou Leonardo Fibonacci, connu à époque sous le nom de" Leonardo Pisano "(Léonard de Pise) ,mais aussi de" Leonardo Bigollo "(bigollo signifiant" voyageur" en italien), s'appelait probablement en réalité "Leonardo Guilielmi. Fibonacci est connu de...

Golden Ratio (W3)

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Euclid, in The Elements, says that the line AB is divided in extreme and mean ratio by C if AB:AC = AC:CB.
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The golden ratio to 10 million digits computed on December 2, 1996 on a SGI R10000 at 194 mHz.
With a third-order Newton iteration program in Maple written by Greg J. Fee.
The computation took 29 minutes and 16 seconds.
Computation conducted by Simon Plouffe.
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The term "golden section" (in German, "goldener Schnitt" or "der goldene Schnitt") seems to first have been used by Martin Ohm in the 1835 2nd edition of his textbook "Die Reine Elementar-Mathematik" (Livio 2002, p. 6). The first known use of this term in English is in James Sulley's 1875 article on aesthetics in the 9th edition of the "Encyclopedia Britannica". The symbol ("phi") was apparently first used by Mark Barr at the beginning of the 20th century in commemoration of the Greek sculptor Phidias (ca. 490-430 BC), who a number of art historians claim made extensive use of the golden ratio in his works (Livio 2002, pp. 5-6). Similarly, the alternate notation is an abbreviation of the Greek tome, meaning "to cut."
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Create award-winning photos: The Golden Ratio sweeps the awards at international photo contest

Goldene Zahl (W3)

Die goldene Zahl in der Astronomie, welche andeutet, das wievielste Jahr ein aufgegebenes in dem Mondzirkel ist.

Die goldene Zahl, in der Zeitrechnung, diejenige Zahl, welche anzeiget, das wie vielte ein gegebenes Jahr in dem Mondzirkel sey; wegen ihres großen Nutzens in der Berechnung des Osterfestes.

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Sie heissen so ("Goldene Zahl"), nicht, weil sie etwa - wie man annahm, mit goldenen Buchstaben in alten Kalendern geschrieben sind, und wie die sonstigen weit hergeholten Annahmen alle heissen mögen - sondern weil sie so hervorragend nützlich sind, wie z.B. der goldene Schnitt für die Mathematik, die goldene Ader für die Biotik, die goldene Mittelstrasse für die Lebensphilosophie.
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Goldener Schnitt (W3)

"Goldener Schnitt" (lateinisch "sectio aurea", französisch "section d'or"), die Teilung einer Strecke in zwei ungleiche Abschnitte in der Weise, dass das Verhältnis des größeren zum kleineren Abschnitt dem der ganzen Strecke zum größeren Abschnitt entspricht.
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Sehr genau an die mathematischen Proportionsvorgaben des Goldenen Schnitt hielten sich viele Kubisten. (Vom "Goldenen Schnitt" zu unterscheiden ist der "Goldschnitt", d. h. die Blattgold-Auflage auf den Schnittflächen der Buchseiten.)

• H. BARAVALLE, Die Geometrie des Pentagrammes und der G., Stuttgart 1950
• G. C. WITTSTEIN, Der G. und die Anwendung desselben in der Kunst, Hannover 1874
• O. HAGENMAIER, Der G., ein Harmoniegesetz und seine Anwendung, München 1977.

DIN-Papier und Goldener Schnitt - Welches sind die günstigsten Seitenverhältnisse für rechteckige Papierblätter und Briefumschläge? Warum ist das Verhältnis der Seiten eines DIN-Blattes gleich Wurzel aus 2?

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Wir kehren wieder zur Oberseite des Blütenstandes zurück und bemerken dort, dass die Einzelblüten keinesfalls chaotisch, oder zufällig auf dem Blütenteller oder Köpfchen verteilt sind, sondern dass dort eine genaue Geometrie verborgen ist. Besonders bei einer größeren Sonnenblume fallen uns die in steilen Bögen angeordneten Blütchen, oder später die Sonnenblumenkerne ins Auge. Diese Bögen sind einerseits im Uhrzeigersinn, aber gleichzeitig auch entgegen "gewendelt". Manchmal kann man die meist sehr undeutlich zu erkennende, sehr flache Grundspirale sehen. Dieses Bild kommt dadurch zustande, weil unter Berücksichtigung der Bildungsreihenfolge von einer Einzelblüte zur darauf folgenden ein Winkel von genau 137,5 Grad eingehalten wird. Das ist der „Goldene Winkel“, der den Kreis im Verhältnis des „Goldenen Schnittes“ teilt. Wie exakt das von dem Blütenstaat eingehalten wird, zeigt uns eine Simulation

Simulation des Goldenen Winkels

Grafik aus Kosmos 11/92 E10392E
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Feste Verbindungen

Adjektive (sowie Partizipien und Zahlwörter) schreibt man als Teile von Eigennamen groß:
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Zudem werden oft auch in Verbindungen mit terminologischem Charakter die Adjektive großgeschrieben: gelbe/"Gelbe Karte", gelbes/"Gelbes Trikot", erste/"Erste Hilfe", goldener/"Goldener Schnitt", kleine/"Kleine Anfrage", neue/"Neue Medien" u. Ä. Für die hier genannten Beispiele empfehlen wir jeweils die Großschreibung des Adjektivs.

1,6180339887...: Goldener Schnitt \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

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Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldene Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.
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Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich im diesem Verhältnis. Das betrifft natürlich auch Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.

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Besteht der Bildaufbau aus verschiedenen Flächen (zum Beispiel Landschaft und Himmel), stellt sich die Frage, wie man die Bildfläche einteilt. Eine mittige Teilung empfiehlt sich nur für grafisch wirkende Aufnahmen, sie wirkt leicht langweilig und dilettantisch. Eine extreme Einteilung, bei der die Trennlinie sehr nahe an den Bildrand zu liegen kommt, wirkt auch unharmonisch, wenn sie die Bildaussage nicht unterstreicht. Am harmonischsten wird eine Einteilung im goldenen Schnitt empfunden. Die kleinere Fläche verhält sich dabei zur grössen Fläche wie die grosse Fläche zur Gesamtfläche. Das Teilungsverhältnis beträgt etwa 3:5.
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Goldener Schnitt
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Der Goldene Schnitt besagt, dass der Mensch die Aufteilung einer Fläche oder Strecke im Verhältnis von etwa 3 : 5 (bzw. genauer 1 [=b]: 1,618 [=a]) als besonders harmonisch empfindet. Ein asymmetrisches Teilungsverhältnis, das den Prinzipien des Goldenen Schnittes folgt, wird vom Betrachter auch als natürlich, das heißt in Übereinstimmung mit der Natur, bewertet.
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"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
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Buch XIII - goldener Schnitt und platonische Körper.29

11.1 Goldener Schnitt

Goldener Schnitt

02. April 2016

Bezeichnung für ein mathematisches Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderer Größen, dessen Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (Major) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (Minor) entspricht; irrationale Proportion von Breite zu Höhe im Verhältnis 1:1,618 (gerundet).

Etymologisch von lat. "sectio aurea" für "Goldener Schnitt"; Synonym "Goldenes Verhältnis"; bis zum Ende des 19. Jahrhundert auch als "Göttliche Proportion" (lat. "proportio divina") bezeichnet.

Ursprung

Die erste überlieferte Abhandlung des mathematische Teilungsverhältnis 1:1,618 findet sich im zweiten Buch der Elemente über geometrische Algebra (Pythagoreer) des griechischen Mathematikers Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.), der die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit dokumentierte. Mathematiker und Historiker sind sich aber mehr oder weniger einig, dass dieses Teilungsverhältnis bereits vor Euklid Gelehrten aus Mesopotamien, Indien und China bekannt gewesen sein dürfte.

Euklids Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde in der mathematischen Literatur zunächst als "proportio habens medium et duo extrema" bezeichnet, was ins Deutsche mit "Teilung im inneren und äußeren Verhältnis" übersetzt werden könnte.

Unter Experten scheint Konsens darüber zu bestehen, das erstmals die Bezeichnung "Goldener Schnitt" 1835 vom deutschen Mathematiker Martin Ohm (1792-1872) in seinem in Fraktur gesetzten Lehrbuch »Die Reine Elementar-Mathematik« in einer Fußnote zu einem Lehrsatz schriftlich dokumentiert wurde. Wobei die Formulierung "goldenen Schnitt" im Sperrsatz abgesetzt ist:

»Dieße Zertheilung einer beliebigen Linie r in 2 solche Theile, nennt man wohl auch den goldenen Schnitt; auch fragt man in dießem Falle zuweilen: die Linie r werde in stetige Proportion getheilt.«

Ohms Formulierung legt nahe, dass die Begrifflichkeit "Goldener Schnitt" möglicherweise bereits (mündlich) existierte. Auch die Bezeichnung "sectio aurea" soll erst Mitte des 19. Jahrhunderts entstanden sein.
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Mathematik und Kultur: [ Thema auswählen! ] 6-Goldener Schnitt 14-Literatur Beenden

Göttliche Teilung (W3)

"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
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Gran Tribonacci (W3)

• Schritt 0: [f(n) f(n+1) f(n+2) f(n+3)]
• Schritt 1: [|f(n)-f(n+1)| |f(n+1)- f(n+2)| |f(n+2) f(n+3)| |f(n+3)-f(n)|]
• Schritt 2: dasselbe auf Basis der 4er-Gruppe von Schritt 1
• Schritt 3: usw.

• Schritt 0: 4 7 13 24
• Schritt 1: 3 6 11 20
• Schritt 2: 3 5 9 17
• Schritt 3: 2 4 8 14
• Schritt 4: 2 4 6 12
• Schritt 5: 2 2 6 10
• Schritt 6: 0 4 4 8
• Schritt 7: 4 0 4 8
• Schritt 8: 4 4 4 4

Aufstieg zum Gran Tribonacci
Das seltsame Land der »4-Tupel« ist weit gehend flach. Aber es gibt einen Gipfel - unbezwingbar, denn er ist unendlich hoch.
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Fur eine genauere Beschreibung des Aufstiegs nummerieren wir die Tribonaccizahlen: t(0) = 0, t(1) = 0, t(2) = 1, t(n+3) = t(n) + t(n+1) + t(n+2). Das n-te "Tribonaccitupel" ist dann T(n) = (t(n), t(n+1), t(n+2), t(n+3)). Die ersten drei Abwartsschritte von T(n) aus verlaufen so:

T(n) -> T(n-2) + T(n-1) -> T(n-3) + T(n-1) -> 2*T(n-2)

Das kann man mit etwas Geschick unschwer nachrechnen.

Uns genügt ein Beispiel:

(81, 149, 274, 504) = T10
-> (68, 125, 230, 423) = (24, 44, 81, 149) + (44, 81, 149, 274) = T8 + T9
-> (57, 105, 193, 355) = (13, 24, 44, 81) + (44, 81, 149, 274) = T7 + T9
-> (48, 88, 162, 298) = 2*(24, 44, 81, 149) = 2*T8

Daraus sieht man, dass beim Ubergang von T(n-2) zu T(n) die Höhe um 3 anwächst. Die genaue Höhe des Tupels T(n) ist 3n/2+2 für gerades n und (3n + 1)/2 fur ungerades n. Der kleinste "Dreitausender" unter den Tribonaccitupeln ist demnach T(2000) mit der Höhe 3002. Die kleinste Zahl t(2000) dieses Tupels hat 529 Dezimalstellen! Wenn man diese riesige Zahl nur um 1 erhöht, so ist das geänderte Tupel schon um 998 niedriger. Klar, dass es aussichtslos ist, so hohe Tupel durch zufälliges Probieren zu suchen.

Wie gross muss ein Tupel mit einer vorgegebenen Höhe mindestens sein? Die Antwort gibt eine Zahlenfolge, die eng mit der Tribonaccifolge verwandt ist:

0, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 9, 11, 13, 31, 37, 44, 105, 125, 149, 355, ...

Das n-te Element an dieser Folge gibt an, wie gross die grösste Zahl in einem 4-Tupel der Hohe n mindestens ist. Beispielsweise ist a(7) = 9, weil es Tupel der Hohe 7 mit dem Maximum 9 gibt, zum Beispiel (0, 1, 4, 9), nicht aber solche, deren Elemente alle kleiner sind als 9. Die Glieder dieser Folge sind:

t(1), t(0) + t(2), t(1) + t(2), t(3), t(2) + t(4), t(3) + t(4), t(5), t(4) + t(6), t(5) + t(6), t(7), ...

...

Excel-Spielerei zum "Gran Tribonacci".

t(0)	t(1)	t(2)	t(3)	t(4)	t(5)	t(6)	t(7)	t(8)	t(9)	t(10)	t(11)	t(12)	t(13)	t(14)	t(15)
T(0)	T(1)	T(2)	T(3)	T(4)	T(5)	T(6)	T(7)	T(8)	T(9)	T(10)	T(11)	T(12)	T(13)	T(14)	T(15)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0	0	1	1	2	4	7	13	24	44	81	149	274	504	927	1705
0	1	0	1	2	3	6	11	20	37	68	125	230	423	778	1431
1	1	1	1	1	3	5	9	17	31	57	105	193	355	653	1201
0	0	0	0	2	2	4	8	14	26	48	88	162	298	548	1008
				0	2	4	6	12	22	40	74	136	250	460	846
				2	2	2	6	10	18	34	62	114	210	386	710
				0	0	4	4	8	16	28	52	96	176	324	596
				0	4	0	4	8	12	24	44	80	148	272	500
				4	4	4	4	4	12	20	36	68	124	228	420
				0	0	0	0	8	8	16	32	56	104	192	352
								0	8	16	24	48	88	160	296
								8	8	8	24	40	72	136	248
								0	0	16	16	32	64	112	208
								0	16	0	16	32	48	96	176
								16	16	16	16	16	48	80	144
								0	0	0	0	32	32	64	128
												0	32	64	96
												32	32	32	96
												0	0	64	64
												0	64	0	64
												64	64	64	64
												0	0	0	0

gutenberg
Husted, Michael
The Fibonacci Number Series
Fibonacci's Numbers - the first 1000

h2g2
Number 16180

How to Draw a Pentagram

Leonardo Fibonacci (W3)

A Short Biography of Leonardo Pisano Fibonacci

Leonardo Fibonacci (Leonardo Pisano) * Pisa um 1170, † Pisa nach 1240
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Im Altertum stießen die Babylonier, die Chinesen und die Inder beim Lösen von Gleichungen auf "negative Zahlen".

Leonardo (Fibonacci) von Pisa (1487 - 1567)

In Europa verwendete Leonardo (Fibonacci) von Pisa (1487 - 1567) bei kaufmännischen Aufgaben den Begriff "Schulden".
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Ebenso lässt sich "pi" mit Kettenbrüchen, Arcustangens-Werten und seit neuestem auch mit Fibonacci-Zahlen bestimmen.
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Unter anderem popularisierten die Übersetzer Johannes Hispaniensis in Sevilla, Gerhard von Cremona in Toledo, und "Leonardo di Pisa" (besser bekannt als "Fibonacci") in Italien die Bezeichnung "Wurzel" und diese wurde zum geflügelten Wort. Kapitel 14 von Fibonaccis "Liber Abaci" (von 1202) trug z.B. diesen Titel: "De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ..." (Vom Auffinden von Quadrat- und Kubikwurzeln).
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In Europa wurde das indisch-arabische Zahlenrechnen (Dezimalsystem) erst durch den italienischen Kaufmann und Mathematiker "Leonardo Fibonacci", genannt "Leonardo von Pisa", (* Pisa um 1170, † ebd. nach 1240) bekannt. Er hatte auf Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien die arabische Mathematik kennengelernt und vermittelte sie in seinem Rechenbuch "Liber abaci" (lat. - "Buch des Abakus") (1202, neubearbeitet 1228). Aber erst mit der Erfindung des Buchdrucks setzte sich das Rechnen mit den zehn Ziffern in Europa endgültig durch. In Deutschland war die Verbreitung des Dezimalsystems den Rechenbüchern des Adam Ries zu verdanken (1518).

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Leonardo Fibonacci (1170-1250) führte Mitte des 12. Jahrhunderts das arabische Zeichensystem ein, das die römischen Zahlen ablöste.
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"Leonardo von Pisa" (ca. 1170-1250), auch bekannt als "Fibonacci", gebrauchte auch die hindu-arabischen Zahlen, die zuvor von Silvester II eingeführt worden waren. 1202 schrieb Leonardo das wichtige lexikographische Werk "Liber Abaci", eine freie Übersetzung islamischer und griechischer Werke in Latein. Dieses Buch beinhaltete viele Probleme zur Artithmetik und Algebra, einschließlich dem bekannten Problem der Hasen, welches zur "Fibonaccifolge" 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... führte. Hierbei ist jeder Term nach den ersten beiden die Summe des vorhergehenden Paares. Liber Abaci war dazu gedacht, die hindu-arabischen Methoden des Rechnens zu lehren, welche bis zu einem gewissen Grad zwar in Europa bekannt waren, aber nur in Klöstern. Die Leute nutzten generell die römischen Zahlen und vermieden die Null, da sie sie nicht verstanden. Leonardos Buch änderte dies ein wenig. Es lehrte die hindu-arabischen Methoden des Rechnens mit ganzen Zahlen und Brüchen, Quadratwurzeln und dritten Wurzeln, aber die arabischen Zahlen wurden auch in den darauffolgenden 400 Jahren nicht vollständig akzeptiert. Leonardo behandelte in seinem späteren Werk Liber Quadratorum von 1225 die Algebra. Er folgte dem Vorbild islamischer Gelehrter, indem er Wörter anstelle von Symbolen benutzte und die Algebra auf die Basis arithmetischer Methoden stellte. Auf der geometrischen Seite veröffentlichte Leonardo 1220 die Practica Geometriae, in denen er vieles von Euklids Elementen und der griechischen Trigonometrie reproduzierte.

"Léonard de Pise" dit "Fibonacci" - Italien (1170 ; 1250)

Mathématicien italien né à Pise, "Léonardo Bonacci" a vécu à l’époque de la construction de la célèbre tour penchée. Il doit son surnom de "Fibonacci", contraction du latin "filius Bonaccii" à son père, marchand de la ville de Pise (grand lieu de commerce en Italie).
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Fibonacci, Leonardo - Leonardo Pisano | Leonardo Pisano (Leonardo Fibonacci)

"Leonardo Fibonacci" AKA "Lonardus Pisanus"

Born: c. 1175
Birthplace: Pisa, Italy
Died: 1250
Cause of death: unspecified
Remains: Buried, Campo Santo, Pisa, Italy
Gender: Male
Race or Ethnicity: White
Occupation: Mathematician
Nationality: Italy
Executive summary: "Liber Abacis"

"Leonardo of Pisa", or "Leonardus Pisanus", usually called "Fibonacci" (from "filius Bonacci"), an Italian mathematician of the 13th century. Of his personal history few particulars are known. His father was called "Bonaccio", most probably a nickname with the ironical meaning of "a good, stupid fellow", while to Leonardo himself another nickname, "Bigollone" ("dunce", "blockhead"), seems to have been given. The father was secretary in one of the numerous factories erected on the southern and eastern coasts of the Mediterranean by the warlike and enterprising merchants of Pisa. Leonardo was educated at Bugia, and afterwards toured the Mediterranean.
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September 2006

Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci

07.09.06 | Im Jahr 1999 veröffentlichte der kleine Karibik-Staat Dominica verschiedene Briefmarken zum Jahrtausendwechsel. Zum frühen 13. Jahrhundert findet man neben Franz von Assisi und Dschingis Khan auch das Portrait eines jungen Mannes mit Namen LEONARDO FIBONACCI und die Jahreszahl 1202. » weiter

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About 900

Abu Kamil writes Book on algebra which studies applications of algebra to geometrical problems. It will be the book on which Fibonacci will base his works.

1225

Fibonacci writes Liber quadratorum (The Book of the Square), his most impressive work. It is the first major European advance in number theory since the work of Diophantus a thousand years earlier.

Fibonacci, Leonardo (2223*) | Leonardo of Pisa (Fibonacci) (2223*) | Pisano, Leonardo Fibonacci (2223*)

Leonardo Pisano Fibonacci

Born: 1170 in (probably) Pisa (now in Italy) - Died: 1250 in (possibly) Pisa (now in Italy)

"Leonardo Pisano" is better known by his nickname "Fibonacci". He was the son of Guilielmo and a member of the Bonacci family. Fibonacci himself sometimes used the name "Bigollo", which may mean "good-for-nothing" or a "traveller". As stated in [1]:-

Did his countrymen wish to express by this epithet their disdain for a man who concerned himself with questions of no practical value, or does the word in the Tuscan dialect mean a much-travelled man, which he was?
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Pisano, Leonardo Fibonacci (2250*)

A quotation by Fibonacci

How many pairs of rabbits can be bred from one pair in a year?

A man has one pair of rabbits at a certain place entirely surrounded by a wall. We wish to know how many pairs will be bred from it in one year, if the nature of these rabbits is such that they breed every month one other pair and begin to breed in the second month after their birth. ... Liber abaci (1202)

Leonardo Fibonacci

"Leonardo Pisano", also known as "Fibonacci" (for "filius Bonacci", meaning "son of Bonacci"), was an Italian mathematician who lived from 1170 - 1250. Fibonacci is sometimes called the greatest European mathematician of the middle ages.
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Leonardo Fibonacci (1175 -1250), Mathematician - Fibonacci Numbers

Fibonacci, Leonardo da Pisa (ca. 1170-ca. 1240)

Leonardo Fibonacci Facts

The Italian mathematician and merchant "Leonardo Fibonacci" (ca. 1180-ca. 1250), also known as "Leonardo of Pisa", was the most original and capable mathematician of the medieval Christian world.
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Nombre d'Or (W3)

Il revient à la mode à la Renaissance. En 1509, Luca Pacioli publie un ouvrage intitulé "Divina Proportione", illustré par Léonard de Vinci: premier traité consacré pour une large part au nombre d'or. L'époque contemporaine fait une large place au nombre d'or, en particulier avec le peintre Sérusier et l'architecte Le Corbusier. Le peintre catalan Salvador Dali a également utilisé le nombre d'or dans sa peinture.

• Divine proportion Le nombre d'or
• Division en moyenne et extrême raison Le nombre d'or
• Pentagramme Le nombre d'or
• Section dorée Le nombre d'or

Le nombre d'or (décimales, histoire, infos. . . )

• Histoire
• Où le rencontre -t-on ?
• Définition et valeur
• Section d'or
• Rectangle d'or
• Construction géométrique du nombre d'or
• Spirale d'or
• Triangles d'or
• De la trigonométrie en or
• Fraction continue
• Propriétés algébrique du nombre d'or
• Une formule liant le nombre pi et le nombre d'or
• Liens

Pentanacci Numbers (W3)

• f(0) = 0
• f(1) = 0
• f(2) = 0
• f(3) = 0
• f(4) = 1
• f(n) = f(n-5) + f(n-4) + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

• Pentanacci numbers:: A001591, A000322

Pentanacci-Zahlen (W3)

• f(0) = 0
• f(1) = 0
• f(2) = 0
• f(3) = 0
• f(4) = 1
• f(n) = f(n-5) + f(n-4) + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

Phi (W3)

...
The symbol ("phi") was apparently first used by Mark Barr at the beginning of the 20th century in commemoration of the Greek sculptor Phidias (ca. 490-430 BC), who a number of art historians claim made extensive use of the golden ratio in his works (Livio 2002, pp. 5-6). Similarly, the alternate notation is an abbreviation of the Greek tome, meaning "to cut."
...

Phi Guy (W3)

Dedicated to providing you with the best information on

• The Golden Ratio, Section or Mean
• The Divine Proportion
• and the golden number, Phi ( ) 1.618 0339 887...

GoldenNumber.Net exists to share information on the pervasive appearance of Phi, 1.618 ... , the Golden Ratio in life and the universe. Its goal is to present a broad sampling of phi related topics in an engaging and easy-to-understand format and to provide an online community in which new findings about Phi can be shared. Select an area of interest below or begin with Phi for NeoPhites or the Golden Ratio Overview article. Enjoy the 'phi-nomenon'!

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Spirale de Fibonacci (W3)

Fibonacci (spirale de) Spirale de Fibonacci

FIBONACCI (SPIRALE DE) - SPIRALE DE FIBONACCI

Stetige Teilung (W3)

"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
...

Suite de Fibonacci (W3)

Suite de Fibonacci

Suite de nombres dans laquelle tout nombre est égal à la somme des deux précédents.
...

SUITE DE FIBONACCI

Suite introduite par Fibonacci de Pise (1170-1250), mathématicien qui a participé à l'introduction des nombres arabes (en provenance d'Inde) en Europe. Cette suite était connue des Indiens bien avant lui, notamment de Hemchandra.

Si Fibonacci a compris l'importance de tels nombres, c'est qu'avant tout il était marchand. Après lui, les étudiants qui utilisaient l'arithmétique pratique, évitaient les universités et cherchaient des "maistres d'algorisme".
...

Nombres et suite de Fibonacci
...
Définition Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que l'on appelle suite de Fibonacci.

Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite :

si on note Fn le n-ème nombre de Fibonacci, Fn = Fn - 1 + Fn - 2
...

• Suites linéaires à coefficients constants, sans second membre - Ce sont, en particulier, les suites de Fibonacci, Lucas, Perrin, Padovan etc.
• Suite de Fibonacci et suite de Lucas
• Suites autogénératrices Suite de Kimberly, Fibonacci, Wythoff (basse et haute), écritures d'entiers évitant certains motifs, substitutions et morphismes.
• Suite des nombres de Keith - Ces nombres sont encore appelés Repfigits (repetitive fibonacci-like digits). La notion est étendue à d'autres bases de numération.

Tetranacci Numbers (W3)

• f(0) = 0
• f(1) = 0
• f(2) = 0
• f(3) = 1
• f(n) = f(n-4) + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

• spelling: tetranacci (not Tetranacci)

• tetranacci numbers: A001630*, A001631, A000078, A000288

Tetranacci-Zahlen (W3)

• f(0) = 0
• f(1) = 0
• f(2) = 0
• f(3) = 1
• f(n) = f(n-4) + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

Tribonacci numbers (W3)

• f(0) = 0
• f(1) = 0
• f(2) = 1
• f(n) = f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

• continued fractions for constants: Otter's rooted tree A000081 (A051492), Thue-Morse (A014572), Tribonacci constant (A019712, A058296)

• spelling: tribonacci (not Tribonacci)

• tribonacci numbers: A000073 A000213 A001590 A003265 A056816 A081172 A145027 A001644

ID Number: A000073 (Formerly M1074 and N0406)
Sequence: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, 615693474, 1132436852, ...

• 1.839286755214161 Tribonacci Constant

Tribonacci-Zahlen (W3)

• f(0) = 0
• f(1) = 0
• f(2) = 1
• f(n) = f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

Uni Surrey
Fibonacci Numbers and the Golden Section

This is the Home page for Dr Ron Knott's multimedia web site on the Fibonacci numbers, the Golden section and the Golden string hosted by the Mathematics Department of the University of Surrey, UK.

vimeo.com
Illustration der Fibonacci-Folge zu Musik von Wim Mertens

Nature by Numbers
by Cristóbal Vila
...

Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.

Beutelspacher, Albrecht (Autor)
Petri, Bernhard (Autor)
Der Goldene Schnitt

Kurzbeschreibung
Der Goldene Schnitt hat seit Jahrtausenden in der Mathematik und in der Kunst eine glänzende Rolle gespielt. Dieses Buch beleuchtet die schönsten Seiten des Goldenen Schnittes. Zunächst werden sowohl die Verbindungen zur Geometrie (reguläres Fünfeck, platonische Körper, Penrose-Parkette) als auch die Zusammenhänge mit der Zahlentheorie (Fibonacci-Zahlen) dargestellt. Daran anschließend wird beschrieben, wie der Goldene Schnitt bei der Analyse von Spielen eingesetzt werden kann. Nicht zuletzt werden die Verknüpfungen des Goldenen Schnittes mit der Natur (Pflanzenwachstum, Proportionen des menschlichen Körpers) und zur Kunst (Architektur, Malerei, Dichtung und Musik) behandelt. Das reich illustrierte Werk ist leicht verständlich; es eignet sich hervorragend zur selbstständigen Lektüre, aber ebenso gut zur Behandlung im Unterricht.

Corbalán, Fernando
Der Goldene Schnitt
Die Mathematische Sprache der Schönheit

Seit langem ist der Goldene Schnitt das Maß für Harmonie, und Mathematiker und Künstler haben ihre Theorien dazu entwickelt. Aber kann Schönheit mathematisch definiert werden? Dieses Buch lässt die zahlreichen Erscheinungsformen des Goldenen Schnittes in Wissenschaft und Kunst Revue passieren. Eines der Wunder des Goldenen Schnittes ist seine unerschöpfliche Fähigkeit, Formen mit exzellenten Eigenschaften zu erschaffen, von Dreiecken bis hin zu 20-seitigen Körpern, sogenannten Ikosaedern. Aber verborgen hinter den unterschiedlichen Bezeichnungen findet sich diese Zahl in ganz alltäglichen geometrischen Objekten, etwa Kreditkarten oder fünfzackigen Sternen. Erstere dienen als gutes Beispiel für das sogenannte "Goldene Rechteck", dessen Seiten diesem speziellen Verhältnis entsprechen. Und wenn Goldene Rechtecke schon so all gegenwärtig sind, was sollen wir dann noch über Spiralen oder Sterne sagen? Sie alle stehen in sehr enger Verbindung mit dem Goldenen Schnitt und erscheinen häufig in Gebäuden, Mosaiken und sogar bei Brettspielen.

2016, 160 Seiten, Maße: 17,7 x 23,6 cm, Gebunden, Deutsch, Verlag: Librero, ISBN-10: 9089986898, ISBN-13: 9789089986894

Hemenway, Priya
Der geheime Code
Die rätselhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt
Der Goldene Schnitt

Köln 2008.

Der Goldene Schnitt, auch bekannt als Göttliche Proportion oder Teilung und Goldene Zahl, lässt sich in Samenmustern von Pflanzen ebenso beobachten wie in den Pyramiden, den gotischen Kathedralen oder im menschlichen Körper, um nur einige aus einer unendlichen Reihe von Phänomenen zu nennen. Dieses Buch präsentiert nicht nur die vielfältigen Erscheinungsformen des Goldenen Schnitts in Natur, Kunst, Architektur, Musik und Wissenschaft, sondern auch seine Variationen, etwa als Goldene Spirale im menschlichen Innenohr. Mit mehr als 300 Abbildungen und Grafiken geht dieser Band der spannenden Frage nach den Gesetzmäßigkeiten des Universums auf den Grund und dem verborgenen »göttlichen Plan«, der sich darin offenbart.

20 x 22 cm, 203 S., zahlr. Abb., geb. Sonderausgabe.
Versand-Nr. 430099