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0 (W3)
Gottlob Frege und Bertrand Russel versuchten die natürlichen Zahlen aus rein logischen Begriffen zu konstruieren. Ihre Definitionen sahen etwa folgendermaßen aus:
- Null ist die Klasse aller Klassen, die ebenso viele Gegenstände enthalten wie die Klasse derjenigen Gegenstände, die nicht mit sich selbst identisch sind. (Dies ist folglich die leere Klasse.)
- Eins ist die Klasse der Klassen, die ebenso viele Elemente enthalten wie die Klasse, deren einziges Element die leere Klasse ist.
- Zwei ist die Klasse der Klassen, die ebenso viele Elemente haben wie die Klasse, deren Elemente Null und die Eins sind.
- ...
Die "Russel'sche Antonomie" besagt:
R sei die Menge aller Menegen, die sich nicht selbst als Element enthalten.
Damit war Freges Ansatz die Mathematik auf der Formalen Logik aufzubauen ad absurdum geführt. Russel stellte jedoch daraufhin selbst die Frage, ob man "Klassen" und "Klassen von Klassen" beliebig vermengen darf. Mit seiner "Typentheorie" versuchte er einen Ausweg aus diesem Dilemma zu finden. Demnach sollen "Individuen", "Klassen" und "Klassen von Klassen" verschiedenen Typen angehören. Unter Berücksichtigung der Typentheorie mußte für die Definition der natürlichen Zahlen jedoch das Unendlichkeitsaxiom hinzunehmen, was wiederum der rein logischen Herleitung der Arithmetik widersprach.
Erstellt: 2012-01
